多様体とは - 理数の散策路

多様体
接ベクトル空間
はめ込みと埋め込み
微分形式

多様体

多様体（Manifold）とは、局所的には平らな空間（ユークリッド空間）と見なせる形のことです。全体として複雑な構造をしていても、小さな範囲に限れば直線や平面として扱える図形を指します。

１次元多様体：
円周や放物線など局所的に直線に見えるもの。
２次元多様体：
球の表面、ドーナツの表面など局所的に平面に見えるもの。
$n$次元多様体：
局所的に $n$ 次元の直交座標系 $\mathbb{R}^n$ に見えるもの。

多様体の定義は、直感的な「局所的に平らな空間」というイメージを、位相空間論と微積分学の言葉を使って定式化したものです。

位相多様体

$n$ 次元位相多様体（Topological Manifold）は、連続的なつながりを持つ空間として、以下の３つの条件で定義されます。開集合 $U$ と写像 $\varphi$ の対 $(U, \varphi)$ を座標近傍（局所座標系、チャート）と呼ばれます。

局所ユークリッド性
$M$ の任意の点 $p \in M$ に対して、$p$ を含む開集合 $U$ と、$n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ の開集合への同相写像（連続で全単射かつ逆写像も連続） $\varphi: U \to\mathbb{R}^n$ が存在する。
ハウスドルフ性
異なる２点 $p, q \in M$ ($p \neq q$) に対し、互いに交わらない開近傍が存在する。これは、２つの点が適切に分離できることを表します。
第二可算性
可算個の開集合で空間全体を覆うことができる。これにより、巨大すぎる特殊な空間を除外することができます。

アトラスと座標変換

アトラス（座標近傍系）とは、多様体 $M$ 全体を覆う座標近傍の集まりです。

$$\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in A}　　\Big(M = \bigcup_{\alpha} U_\alpha\Big)$$

２つの座標近傍 $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ と $(U_\beta, \varphi_\beta)$ の重なり合う領域 $U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$ において、一方の座標から他方の座標へ移る写像を座標変換と呼びます。多様体の点 $p\in M$ について、

$$x^\mu=\phi_\alpha(p)$$$$y^\mu=\phi_\beta(p)$$

これにより、$x^\mu\to y^\mu$ の座標変換は以下のように表されます。この座標変換は、$\mathbb{R}^n$ の開集合から $\mathbb{R}^n$ の開集合への多変数関数です。

$$y^\mu=\phi_\beta\big(\phi_\alpha^{-1}(x^\mu)\big)$$$$\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} : \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$$

可微分多様体

可微分多様体（Differentiable Manifold）は、位相多様体の上に微積分ができる仕組みを載せたものです。

$C^k$ 級可微分多様体
座標近傍に含まれるすべての座標変換写像 $\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}$ が $k$ 回連続微分可能である多様体。
$C^\infty$ 級可微分多様体（可微分多様体）
無限に微分可能な多様体（$k = \infty$）。

接ベクトル空間

接ベクトル空間（Tangent Space）は、多様体上のある１点 $p$ に接する平坦な空間です。簡単な例では、曲面に接する平面です。

接ベクトル

例えば球面 $S^2$ 上の点 $p$ と曲線 $\gamma(t)$ を考え、$\gamma(0)=p $ とします。接ベクトルは、この曲線の点 $p$ における $t=0$ での速度として表されます。

$$ \left.\frac{d\gamma}{dt}\right|_{t=0} $$

例えば、球面上を東方向に動く場合と北方向に動く場合では、異なる接ベクトルになります。このとき、点 $p$ における全ての接ベクトルの集合を $T_pM$ と表します。

ただし、抽象的な多様体の場合、接ベクトルを曲線の速度ではなく、関数に作用する微分作用素として定義する方法があります。

微分作用素による定義

$M$ を滑らかな $n$ 次元多様体、その上の点を $p\in M$ とします。$p$ における接ベクトル $v$ を、以下の写像として定義します。ここで $C^\infty(M)$ は、$M$ 上の滑らかな実数値関数全体です。

$$ v:C^\infty(M)\rightarrow\mathbb R $$

接ベクトル $v$ は次の２条件を満たすものとします。このような $v$ の集合を接ベクトル空間 $T_pM$ と定義します。

- 線形性
  任意の $f,g\in C^\infty(M)$、$a,b\in\mathbb R$ に対して、$$v(af+bg)=av(f)+bv(g).$$
- ライプニッツ則（積の微分法則）$$v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)$$

このとき、接ベクトル $v$ は方向微分演算子（ベクトル＝方向を表す微分作用素）として考えることができます。

$$v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$$

そして、関数 $f(x^1,\ldots,x^n)$ に対して以下のように作用させることができます。

$$ v(f) = v^i\frac{\partial f}{\partial x^i} $$

先ほどの曲線 $\gamma(t)$ について、$\gamma(0)=p$とし、$\dot\gamma(0)\in T_pM$ とします。任意の滑らかな関数 $f$ に対して以下のように定義すると、

$$\dot\gamma(0)[f] = \left.\frac{d}{dt}f\big(\gamma(t)\big)\right|_{t=0}$$

以下を微分作用素として考えことができます。

$$\dot\gamma(0) = \left. \frac{d}{dt} \right|_{t=0}$$

ライプニッツ則の導出

$$ v[f] = \left.\frac{d}{dt}f\big(\gamma(t)\big)\right|_{t=0} $$

としてライプニッツ則の左辺を計算すると、$\gamma(0)=p$ なので、

$$ v[fg] = \left. \frac{d}{dt} \Big(f\big(\gamma(t)\big)g\big(\gamma(t)\big)\Big) \right|_{t=0} $$$$ = f\big(\gamma(0)\big) \left.\frac{dg\big(\gamma(t)\big)}{dt}\right|_0 + g\big(\gamma(0)\big) \left.\frac{df\big(\gamma(t)\big)}{dt}\right|_0$$$$=f(p)v[g]+g(p)v[f]$$

したがって、曲線の速度はライプニッツ則が成り立つことが分かります。

座標近傍の基底と次元

微分記号 $\partial/\partial x^\mu$ は以下のように定義できます。

$$\left. \frac{\partial}{\partial x^\mu} \right|_p[f] = \frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})} {\partial x^\mu} \bigg|_{\varphi(p)}$$

これは、多様体上の関数 $f$ を座標 $\varphi$ によって $\mathbb R^n$ の関数に変換し偏微分を行う操作を表します。そして、以下が $T_pM$ の基底になります。

$$\left\{ \frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}\bigg|_p \right\}$$

$M$ が $n$ 次元多様体なら、$n$ 個の基底を持つので、

$$\dim T_pM=n$$

曲線 $\gamma(t)$ を局所座標で $x^\mu(t)$ と表すと、

$$ \dot\gamma(0) = \frac{dx^\mu}{dt}\bigg|_0 \frac{\partial}{\partial x^\mu}\bigg|_p$$

従って、$v^\mu=dx^\mu/dt$ とすると以下になります。

$$v= \frac{dx^\mu}{dt} \frac{\partial}{\partial x^\mu}= v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

座標変換

接ベクトルが幾何学的なベクトルなら、座標を変えても同じ幾何学的対象になります。座標を $x^\mu\rightarrow x’^\mu$ と変換すると、

$$ v = v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} = v^\mu \frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu} \frac{\partial}{\partial x’^\nu}$$

従って、新しいベクトルの成分は以下のようになります。これが反変ベクトルの変換則です。

$$v’^\nu = \frac{\partial x’^\nu}{\partial x^\mu} v^\mu$$

はめ込みと埋め込み

はめ込み（Immersion）と埋め込み（Embedding）は、ある多様体を別の多様体の中に配置する写像の条件です。写像 $F:M\longrightarrow N$ において、多様体 $M$ を $N$ の中にどのくらいきれいに入れているかを表す概念です。

要約すると、局所的に潰れていなければ「はめ込み」であり、全体としても自己交差や端の接触がなく、完全に元通りの姿で再現されていれば「埋め込み」となります。はめ込み・埋め込みの要点比較を以下に示します。

概念	局所的潰れ	微分 $dF_p$	自己交差	位相の同相性
はめ込み (Immersion)	なし	単射	許す	不要
埋め込み (Embedding)	なし	単射	不可	必須

はめ込み

$F:M\to N$ がはめ込みであるとは、以下が全ての $p\in M$ で単射になることです。ここで、$dF_p$ は $F$ の点 $p$ における微分（接写像）です。

$$dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N$$$$\ker(dF_p)=\{0\}$$

写像 $F$ によって、点 $p$ における接ベクトル $v\in T_pM$ を以下のように送ることができます。これは $F$ によって、点 $p$ における方向がどのように写像されるかを表します。

$$ dF_p(v)\in T_{F(p)}N $$

$dF_p$ が単射ということは、$v\neq0$ の場合に $dF_p(v)\neq0$ ということで、$M$ 上の異なる方向を、$F$ が局所的に潰さないということです。$M$ が $m$ 次元、$N$ が $n$ 次元とすると、

$$ F(x^1,\ldots,x^m) = \big( F^1(x),\ldots,F^n(x) \big) $$

このとき、はめ込み条件は、 $dF_p$ のヤコビ行列を使って以下のように表されます。

$$\operatorname{rank} \left( \frac{\partial F^a}{\partial x^i} \right) =m\leq n$$

埋め込み

滑らかな写像 $f: M \to N$ が埋め込みであるとは、以下の2つの条件を同時に満たすことを言います。

写像 $f$ がはめ込みである（局所的につぶれない）。
写像 $f$ が微分同相写像（Homeomorphism）である（$M$ から像 $f(M) \subset N$ への位相的像付け）。

これは、単射（１対１）で、かつ、$M$ の位相構造と $f(M)$ の相対位相が一致することを意味します。元の多様体 $M$ の構造や形を一切損なうことなく、そのままの形で $N$ の中に部分多様体として収められている状態です。自己交差も許されません。

微分形式

微分形式（Differential Form）とは、直感的には、多様体（曲がった空間）の上での積分を定式化するための被積分関数です。微分形式には次数があり、$k$ 次微分形式は $k$ 次元の領域の上で積分できる対象に対応します。

次数	名称	測る対象（積分する領域）	記号のイメージ
0次	0次微分形式	点（0次元）における値	$f(x, y, z)$ （通常の関数）
1次	1次微分形式	曲線（1次元）に沿った線積分	$P dx + Q dy + R dz$
2次	2次微分形式	曲面（2次元）を通る面積分	$A dy \wedge dz + B dz \wedge dx + C dx \wedge dy$
3次	3次微分形式	領域（3次元）全体の体積分	$f(x, y, z) dx \wedge dy \wedge dz$

数学的な定義

多様体 $M$ 上の各点 $p$ において、接ベクトル空間を $T_p M$ とします。

１次微分形式：
接ベクトル $v \in T_p M$ を入力すると実数を出力する線型写像です。基底には $dx^1, \dots, dx^n$ が用いられ、接基底 $\partial/\partial x^j$ に対して以下の関係にあります。$$dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \delta_{ij}$$
$k$ 次微分形式とウェッジ積 ($\wedge$)：
$k$ 個の接ベクトルを入力とする交代多重線型写像で、ベクトル同士の並び順を入れ替えると符号が反転します（交代性）。$$dx \wedge dy = – (dy \wedge dx)$$$$dx \wedge dx = 0$$

外微分

微分形式では、外微分と呼ばれる微分演算子（Exterior Derivative）$d$ が統一的に定義できます。基本性質は以下になります。

1. $k$ 次微分形式 $\omega$ に対し、$d\omega$ は $(k+1)$ 次微分形式になる。
2. 線型性： $d(a\alpha + b\beta) = a d\alpha + b d\beta$
3. 積の法則： $d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{\deg \alpha} \alpha \wedge d\beta$
4. ２回外微分するとゼロ： $d^2 = d(d\omega) = 0$

ベクトル解析の勾配 (grad)、回転 (rot)、発散 (div) は、外微分で表すことができます。$\text{rot}(\text{grad } f) = 0$ や $\text{div}(\text{rot } A) = 0$ の関係式は、 $d^2 = 0$ に集約されます。