部分ゲーム完全均衡とは

/ゲーム理論

部分ゲームとは

部分ゲームとは、展開型ゲームの部分木について、全ての情報集合がその部分木以外の情報集合を含まない場合です。尚、情報集合とは、行動決定においてプレイヤが知っている情報の状態(選択肢の範囲)を表します。

次のような展開型ゲームの2人のプレイヤ $A$ 、$B$ の行動決定($X,Y$)において、同時に行う場合を左図、逐次($A\to B$ の順)で行う場合を右図に表します。括弧の数字はそれぞれ $A,B$ の利得とします。

図中の点線は情報集合を表します。同時決定の場合は、$B$ は $A$ の決定の結果を知らないで行動決定しますが、逐次決定の場合は、$B$ は $A$ の決定の結果を知った上で行動決定を行います。

従って、逐次決定の場合の $B$ は、 ②は③と独立して行動決定することができ、③は②と独立して行動決定ができます。一方、同次決定の場合の②と③は独立して行動決定することはできません。

以上より、逐次決定の場合の②と③を起点とする展開ゲームは、①を起点する展開ゲームの部分ゲームとなります。

部分ゲーム完全均衡とは

部分ゲーム完全均衡とは、元の展開ゲームの全ての部分ゲームに対して、ナッシュ均衡を与える行動戦略の組を指します。

上の例における同時決定の利得表配下で、

$A\backslash B$ $B:X$ $B:Y$
$A:X$ $(5,3)$ $(0,0)$
$A:Y$ $(0,0)$ $(3,5)$

逐次決定の利得表は以下で表されます。尚、「$B:Y/X$」という表記は、$A$ が $X$ の行動決定を行えば $B$ は $Y$、$A$ が $Y$ の行動決定を行えば $B$ は $X$ の行動決定を行うという戦略を表します。

$A\backslash B$ $B:X/X$ $B:X/Y$ $B:Y/X$ $B:Y/Y$
$A:X$ $(\underline{5}, \underline{3})$ $(\underline{5}, \underline{3})$ $(0,0)$ $(0,0)$
$A:Y$ $(0,0)$ $(3,\underline{5})$ $(0,0)$ $(\underline{3}, \underline{5})$

ナッシュ均衡に下線を付けました。展開ゲーム全体を見ると($A:X,B:X/X$)、($A:X,B:X/Y$)、($A:Y,B:Y/Y$)がナッシュ均衡ですが、全ての部分ゲームでナッシュ均衡(部分ゲーム完全均衡)となるのは($A:X,B:X/Y$)のみです。

例えば($A:X,B:X/X$)は、②を始点とする部分ゲーム($A:X$)ではナッシュ均衡ですが、③を始点とする部分ゲーム($A:Y$)ではナッシュ均衡ではありません。


$A:X$
$B:X/X$ $B:X/Y$ $B:Y/X$ $B:Y/Y$
 $\underline{3}$ $\underline{3}$ $0$ $0$

$A:Y$
$B:X/X$ $B:X/Y$ $B:Y/X$ $B:Y/Y$
 $0$ $\underline{5}$ $0$ $\underline{3}$

一方($A:X,B:X/Y$)は、②を始点とする部分ゲーム及び③を始点とする部分ゲームの両方でナッシュ均衡となります。

 

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