ペアノの公理とは - 理数の散策路

ペアノの公理
自然数論

ペアノの公理

ペアノの公理とは、自然数（natural number）の全体を定義する公理です。ペアノの公理は、集合 $N$ 、定数 $0$ 、関数 $s$ について、以下の５つの公理から構成されます。関数 $s(a)$ は $a$ の「後者」（successor）を表します。

$0\in N$
$\forall a\in N$、$s(a)\in N$
$\forall a\in N$、$s(a)\ne 0$
$\forall a\forall b\in N$、$a\ne b\to s(a)\ne s(b)$
$\forall M\subseteq N$、$\forall a\in N$、
$(0\in M)\wedge(a\in M\to s(a)\in M)\to M=N$

このとき、集合 $N$ の要素を自然数といいます。自然数とは、個数または順番を表す一群の数となります。

尚、論理記号について、「$a\in N$」は「$a$ は $N$ の要素」、「$M\subseteq N$」は「$M$ は $N$ の部分集合」、「$\forall a$」は「任意の $a$」、「$\exists a$」は「特定の $a$」、「$A\wedge B$」は「$A$ かつ $B$」、「$A\vee B$」は「$A$ または $B$」、「$A\to B$」は「$A$ ならば $B$」の意味になります。

また、「後者」と自然数の要素との対応は以下のように定義します。

$$s(0)=1$$$$s(1)=s(s(0))=2$$$$s(2)=s(s(1))=s(s(s(0)))=3$$$$\cdots$$

これと後に述べる加法の公式１の $s(a)=a+1$ を使うと、先のペアノの公理は以下のように書き替えられます。

集合 $N$ は０を要素に持つ
集合 $N$ の任意の要素 $a$ について、$a+1$ も集合 $N$ の要素である
集合 $N$ の任意の要素 $a$ について、$a+1\ne 0$ である
集合 $N$ の任意の異なる要素 $a\ne b$ について、$a+1\ne b+1$ である
集合 $N$ の任意の部分集合 $M$ について、それが０を含み、かつ、
$M$ の任意の要素 $a$ に対し $a+1$ も $M$ の要素であれば、$M=N$ である

ペアノの公理５は、自然数の集合は唯一であることを示しています。