決定木とは

決定木とは、分類や意思決定を多段階に繰り返して行う場合、その各段の分岐を階層的に樹形図で表したものです。

分岐の条件を入力変数（$x_i$）、分岐の結果を目的変数（$t_j$）と呼びます。ここで、独立変数の数を $m$、独立変数のセット（データ）の数を $n$ とします。

$$t_j=t_j(x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_m)　,　j=1,2,\cdots,n$$

また、決定木の始点を根ノード、端点を葉ノードと呼びます。決定木が完成した状態では、１つの葉ノードに含まれるの全てのデータは同一の目的変数を持ちます。

この目的変数が数値型か分類型かにより、決定木は２つの種類に分かれます。

以下の説明は、分類木に限定し、入力変数を「属性」、目的変数を「クラス」と呼ぶことにします。

学習アルゴリズム

決定木の学習アルゴリズムは以下になります。

決定木の根ノードでは、全てのデータ（全てのクラス）が含まれるため、最も多様性が大きくなりいます。また、葉ノードでは、そこに含まれるデータは全て同じクラスに属するため、最も多様性が小さくなります。

従って、分岐させる際に、多様性を最も下げる属性を選択することが、最も効率の良い学習アルゴリズムを作ることにつながります。決定木の学習アルゴリズムと、それに採用されている多様性の指数は以下になります。

学習アルゴリズム	多様性指数
CART（Classification and Regression Tree）	ジニ係数
ID3（Iterative Dichotomiser 3）	情報利得
C4.5 / C5	情報利得比

ウィキペディアに載っている、ゴルフ場の例で、各多様性指数を計算します。

この例では、データの数（$n$）は14個、属性の数（$m$）は４個で、それぞれ天気（晴・曇・雨）、気温（高・中・低）、湿度（高・中）、風（強・弱）、クラスは「○：実施」または「 ×：中止」です。

ジニ係数とは、経済の分野で所得格差を表すために使われていますが、多様性指標では、任意の２つのデータが異なるクラスに属する確率として解釈することができます。

ゴルフの例では、２つのデータを任意に選択して「○×」または「×○」になる確率がデータ集合の多様性を表すと考えます。「○」になる確率を $P_\circ$、「×」になる確率を $P_\times$ とすると、ジニ係数（$G$）は以下で表されます。

$$G=1-(P_\circ^2+P_\times^2)=2P_\circ(1-P_\circ)$$

根ノードのジニ係数（G_0）は、「○」は９個、「×」が５個であり、$P_\circ=9/14$、$P_\times=5/14$ であるため以下になります。

$$G_0=1-\Big(\frac{9^2}{14^2}+\frac{5^2}{14^2}\Big)\cong0.459$$

ID3の場合は多様性をエントロピー（$H$）で表し、エントロピーの変化分が情報利得となります。エントロピーは、事象の発生確率（$p_i$）により以下で定義されます。

$$H=-\sum_ip_i\log_2{p_i}$$

ゴルフの例では、根ノードのエントロピー（H_0）は、「○」は９個、「×」が５個であり、$p_\circ=9/14$、$p_\times=5/14$ であるため以下になります。

$$H_0=-\frac{9}{14}\log_2{\frac{9}{14}}-\frac{5}{14}\log_2{\frac{5}{14}}\cong0.940$$

分岐後のエントロピーを $H_1$ とすると、情報利得（$I$）は以下で求められます。この情報利得を最大にする属性を選択することが重要です。

$$I=H_0-H_1$$

ゴルフの例を使って、天気で分岐した場合のエントロピー（$H_1$）を求めます。まず、晴・曇・雨それぞれのエントロピーは、

晴（×××○○）：$H_{11}=-\frac{2}{5}\log_2{\frac{2}{5}}-\frac{3}{5}\log_2{\frac{3}{5}}\cong0.971$
曇（○○○○）：$H_{12}=-\frac{4}{4}\log_2{\frac{4}{4}}-\frac{0}{4}\log_2{\frac{0}{4}}=0$
雨（○○×○×）：$H_{13}=-\frac{3}{5}\log_2{\frac{3}{5}}-\frac{2}{5}\log_2{\frac{2}{5}}\cong0.971$

であり、全体のエントロピーはこの平均で求められます。

$$H_1=\frac{5}{14}H_{11}+\frac{4}{14}H_{12}+\frac{5}{14}H_{13}\cong0.693$$