リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルとは、空間の曲率を表すテンソルで、平らな空間の場合は０になります。リーマン曲率テンソルは、２階の共変微分の順序を入れ替えた際の差分を表します。
$$A_lR_{ijk}^l＝A_{i:j:k}-A_{i:k:j} －①$$
ここでリーマン曲率テンソル $R_{ijk}^l$ は以下で定義されます。
$$R_{ijk}^l\equiv\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l －②$$
①を導く
リーマン曲率テンソル①は共変微分の定義である２つの式、
$$A_{i:j}=\frac{\partial A_i}{\partial x^j}-\Gamma_{ij}^lA_l －③$$$$T_{ij:k}=\frac{\partial T_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lT_{lj}-\Gamma_{jk}^lT_{il} －④$$
を使って確認することができます。まず、③の左辺１項の $A_{i:j}$ をテンソルとみなし、④を使うと、
$$A_{i:j:k}=\frac{\partial A_{i:j}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lA_{l:j}-\Gamma_{jk}^lA_{i:l}$$
これの共変微分に③を使うと、
$$A_{i:j:k}=\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^j}-\Gamma_{ij}^lA_l\Big)-\Gamma_{ik}^l\Big(\frac{\partial A_l}{\partial x^j}-\Gamma_{lj}^mA_m\Big)-\Gamma_{jk}^l\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^l}-\Gamma_{il}^mA_m\Big)$$
次に同様にして $A_{i:k:j}$ を求めると、
$$A_{i:k:j}=\frac{\partial}{\partial x^j}\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lA_l\Big)-\Gamma_{ij}^l\Big(\frac{\partial A_l}{\partial x^k}-\Gamma_{lk}^mA_m\Big)-\Gamma_{kj}^l\Big(\frac{\partial A_i}{\partial x^l}-\Gamma_{il}^mA_m\Big)$$
①の右辺を計算し、$\Gamma^l_{jk}=\Gamma^l_{kj}$ を利用すると、$A_{i:j:k}$ と $A_{i:k:j}$ の各左辺の第１項と第３項は打ち消し合うため、
$$A_{i:j:k}-A_{i:k:j}=-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}A_l+\Gamma_{ik}^l\Gamma_{lj}^mA_m+\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}A_l-\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^mA_m$$$$=\Big(\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l\Big)A_l=R_{ijk}^lA_l$$
①の左辺（リーマン曲率テンソル）が導かれます。
対称性
リーマン曲率テンソルは次の対称性を持ちます。
$$R_{ijkl}=-R_{ijlk} -⑤$$$$R_{ijkl}=-R_{jikl} -⑥$$$$R_{ijkl}=R_{klij}=R_{lkji} -⑦$$
まず、⑤はリーマン曲率テンソルの定義より明らかです。
⑥と⑦の導出
リーマン曲率テンソルの定義より、
$$R_{ijkl}=g_{in}R^n_{jkl}=g_{in}\Big(\frac{\partial\Gamma_{jl}^n}{\partial x^k}-\frac{\partial\Gamma_{jk}^n}{\partial x^l}+\Gamma_{jl}^m\Gamma_{mk}^n-\Gamma_{jk}^m\Gamma_{ml}^n\Big)$$
右辺第１項に次の関係を使うと、
$$g_{in}\frac{\partial\Gamma^n_{jl}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{in}}{\partial x^k}\Gamma^n_{jl}=\frac{\partial}{\partial x^k}(g_{in}\Gamma^n_{jl})=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}$$
以下になります。
$$R_{ijkl}=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{in}}{\partial x^k}\Gamma^n_{jl}+\Gamma_{jl}^n\Gamma_{ink}-\{k,l\mbox{ 交換項}\}$$
ここで、右辺第３項の $m$ は $n$ に置換えています。次に、クリストッフェル記号の定義より得られる関係式
$$\Gamma_{ink}+\Gamma_{nik}=\frac{\partial g_{in}}{\partial x^k}$$
を使うと、
$$R_{ijkl}=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}-\Gamma_{nik}\Gamma^n_{jl}-\{k,l\mbox{ 交換項}\}$$$$=\frac{\partial\Gamma_{ijl}}{\partial x^k}-\Gamma_{nik}\Gamma^n_{jl}-\frac{\partial\Gamma_{ijk}}{\partial x^l}+\Gamma_{nil}\Gamma^n_{jk}$$$$=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}\Big)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^l}\Big(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\Big)$$$$+g^{mn}(\Gamma_{nil}\Gamma_{mjk}-\Gamma_{nik}\Gamma_{mjl})$$
第１、２項について、$i,j$ の交換に対して反対称であることが分かります。第３項についても、$n,m$ は入れ替えることができるので、$i,j$ の交換に対して反対称になります。これより⑥が成り立つことが分かります。
一方、⑦については、$(i,j,k,l)\to(k,l,i,j)\to(l,k,j,i)$と置き替えると成り立つことが分かります。
ビアンキの関係式
ビアンキの関係式とは、リーマン曲率テンソルの添え字の巡回置換に成り立つ関係式です。以下のように表されます。
$$R_{ijk}^m+R_{jki}^m+R_{kij}^m=0 -⑧$$
ここで、リーマン曲率テンソルは、クリストッフェル記号により以下で定義されます。
$$R_{ijk}^m=\frac{\partial\Gamma_{ik}^m}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^m}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^n\Gamma_{nj}^m-\Gamma_{ij}^n\Gamma_{nk}^m -⑨$$
ビアンキの関係式を導く
⑨について、添え字｛$i,j,k$｝を１つづつ巡回置換させます。
$$R_{jki}^m=\frac{\partial\Gamma_{ji}^m}{\partial x^k}-\frac{\partial\Gamma_{jk}^m}{\partial x^i}+\Gamma_{ji}^n\Gamma_{nk}^m-\Gamma_{jk}^n\Gamma_{ni}^m -⑩$$$$R_{kij}^m=\frac{\partial\Gamma_{kj}^m}{\partial x^i}-\frac{\partial\Gamma_{ki}^m}{\partial x^j}+\Gamma_{kj}^n\Gamma_{ni}^m-\Gamma_{ki}^n\Gamma_{nj}^m -⑪$$
次に、⑨⑩⑪を足し合わせると、クリストッフェル記号の対称性 $\Gamma_{ij}^m=\Gamma_{ji}^m$ により、⑨の右辺第１項と⑪の右辺第２項は打ち消し合います。結局、右辺の和は０になり、左辺の和（ビアンキの関係式）のみ残ることが分かります。
ビアンキの恒等式
ビアンキの恒等式とは、リーマン曲率テンソルの共変微分に成り立つ対称性です。以下のように表されます。ここで、コロン（ $:$ ）は共変微分を表します。
$$R_{ijk:l}^m+R_{ikl:j}^m+R_{ilj:k}^m=0$$
ビアンキの恒等式を導く
まず、２つのベクトルの外積に対し共変微分を行います。ここでは $k$ と $l$ の順番を入れ替えて２回行います。
$$(A_iB_j)_{:k:l}=A_{i:k:l}B_j+A_{i:k}B_{j:l}+A_{i:l}B_{j:k}+A_iB_{j:k:l}$$$$(A_iB_j)_{:l:k}=A_{i:l:k}B_j+A_{i:l}B_{j:k}+A_{i:k}B_{j:l}+A_iB_{j:l:k}$$
２つの式の差分をとって、リーマン曲率テンソルの定義式
$$A_mR_{ijk}^m＝A_{i:j:k}-A_{i:k:j}$$
を使うと、
$$(A_iB_j)_{:k:l}-(A_iB_j)_{:l:k}=(A_{i:k:l}-A_{i:l:k})B_j+A_i(B_{j:k:l}-B_{j:l:k})$$$$=A_mB_jR_{ikl}^m+A_iB_mR_{jkl}^m$$
ここで、ベクトルの外積はテンソルであり、共変微分はテンソルであるから、$A_iB_j\to A_{i:j}$ と置き替えます。
$$A_{i:j:k:l}-A_{i:j:l:k}=A_{m:j}R_{ikl}^m+A_{i:m}R_{jkl}^m -⑫$$
次に、添え字｛$j,k,l$｝を１つづつ巡回置換させます。
$$A_{i:k:l:j}-A_{i:k:j:l}=A_{m:k}R_{ilj}^m+A_{i:m}R_{klj}^m -⑬$$$$A_{i:l:j:k}-A_{i:l:k:j}=A_{m:l}R_{ijk}^m+A_{i:m}R_{ljk}^m -⑭$$
⑫⑬⑭の左辺を、リーマン曲率テンソルを定義を使って書き換えます。ここで、⑫⑬⑭の左辺の和と⑮⑯⑰の左辺の和は等しいため、それぞれの右辺の和を等しいと置くことができます。
$$A_{i:j:k:l}-A_{i:k:j:l}=(A_mR_{ijk}^m)_{:l}=A_{m:l}R_{ijk}^m+A_mR_{ijk:l}^m -⑮$$$$A_{i:k:l:j}-A_{i:l:k:j}=(A_mR_{ikl}^m)_{:j}=A_{m:j}R_{ikl}^m+A_mR_{ikl:j}^m -⑯$$$$A_{i:l:j:k}-A_{i:j:l:k}=(A_mR_{ilj}^m)_{:k}=A_{m:k}R_{ilj}^m+A_mR_{ilj:k}^m -⑰$$
⑫⑬⑭の右辺第２項の合計は、ビアンキの関係式①により０になることが分かります。また、⑫⑬⑭の右辺第１項は、⑮⑯⑰の右辺第１項に等しいため、これらは打消します。従って、以下の⑮⑯⑰の右辺第２項のみ残ります。
$$A_mR_{ijk:l}^m+A_mR_{ikl:j}^m+A_mR_{ilj:k}^m=0$$
ここで、ベクトル $A_m$ は任意であるため、ビアンキの恒等式が導かれます。
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