量子もつれ
量子もつれ（entanglement）とは、古典物理学では説明できない、複数の粒子間の相関現象です。量子もつれの状態にある２つ以上の粒子は、互いに切り離せないほど強く結びつき、一方の状態を測定した瞬間に、どれほど離れていてももう一方の状態が瞬時に決定されます（デコヒーレンス）。
例えば、カルシウム原子が励起状態から基底状態に戻るときに、２個の互いに直交した偏光をもつ光子を反対方向に放出することが知られています。このとき、この２つの光子は量子もつれ状態にあります。
２つの光子を $L$（左）と $R$（右）、２つの偏光状態を $H$（水平）と $V$（垂直）で表すと、量子もつれの系全体の状態 $\ket{\phi}$ は以下で表されます。
$$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\ket{H}_L\ket{V}_R+\ket{V}_L\ket{H}_R\big)$$
このように、量子もつれの状態にある系は、以下のような積で表すことができません。
$$\ket{\psi}=\ket{\phi}_L\otimes\ket{\chi}_R$$
尚、量子もつれは単なる理論上の現象ではありません。現在では、量子暗号、量子テレポーテーション、量子コンピュータ、量子ネットワークなどの基礎技術として研究されています。
隠れた変数理論
隠れた変数理論とは、量子もつれの相関を、観測できない未知の要素（隠れた変数）を導入することで、古典物理学の範囲で説明しようとする仮説です。
EPRパラドックス（Einstein、Podolsky、Rosen）は、もし量子力学が正しいなら、離れた粒子同士が奇妙な相関を持つことを指摘しました。アインシュタインはこれを不気味な遠隔作用（spooky action at a distance）と呼びました。
そして、この遠隔作用について、実は観測前から結果が決まっている隠れた変数があるのではないかと考えました。これが隠れた変数理論です。
しかし、隠れた変数理論は現在では正しくないことが実証されています。以下の光子の偏光実験では単純な隠れた変数モデルを仮定し、これが成り立たないことを説明します。尚、一般的な隠れた変数理論を否定は、ベルの不等式に基づいたアスペの実験により示されています。
光子の偏光実験
古典的な光は波として表され、その振幅の方向は、光波の進行方向に対し垂直（垂直面上）になります。通常は、その垂直面上の振幅方向に偏りはありませんが、偏光板を通過すると、１つの方向に揃った状態（偏光）になります。このとき、偏光板を通過した光の強さは半分になります。
ｘ軸方向に偏光させる偏光板（以下、偏光板X）を２枚重ねた場合、１枚目の偏光板Xを通過した光は、全て２枚目の偏光板Xも通過します。２枚目の偏光板がｙ軸方向に変更させる偏光板（以下、偏光板Ｙ）の場合は、１枚目を通過した光は、全て２枚目の偏光板Ｙで遮断されます。
これを光子の場合で考えると以下になります。
１枚目の偏光板Ｘを通過する光子の割合は1/2となります。１枚目の偏光板Ｘを通過した光子は、２枚目が偏光板が偏光板Ｘの場合は全て通過し、偏光板Ｙの場合は全て遮断されます。
一般に、ある光子の偏光の方向と偏光板の方向が $\theta$ ずれていた場合、偏光板を通過する光子の割合はマリュスの法則により $\cos^2\theta$ であることが知られています。そのため、偏光していない光子が偏光板を通過する確率は、これの平均を取った値（1/2）になります。
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=\frac{1}{2} －①$$
偏光は観測前に確定しているか？
先に述べたように、カルシウム原子が励起状態から基底状態に戻るときに、２個の互いに直交した偏光をもつ光子を反対方向に放出することが知られています。この２個の光子を両側で検出する実験が以下になります。
左側の偏光板（偏光板L）をｘ軸（横）方向、右側の偏光板（偏光板R）をｙ軸（縦）方向に設定すると、検出器Lで光子（以下、光子L）か検出された場合は、必ず検出器Rでも光子（以下、光子R）が検出されます。
量子力学では観測する前の量子状態は「分からない」とされていますが、ここで問題なのが、
- 人間に（量子力学で）分からないだけで、偏光は既に確定して”いる”
- 偏光は確定して”いない”
のどちらなのか、ということです。
仮設１：偏光は確定している
光子Lの偏光がｘ軸（偏光板Lの方向）に対して $\theta$ ほど傾いていたと”仮定”します。このとき、検出器Lで検出される確率は $\cos^2\theta$ となります。対になる光子Rは、ｙ軸（偏光板Rの方向）に対して $\theta$ ほど傾いている”はず”なので、検出器Rで検出される確率は同じく $\cos^2\theta$ となります。
検出器Lと検出器Rで同時に検出される事象は、左右の確率事象が”独立”であれば、3/8の確率で発生します。これは以下のように計算されます。
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\cos^2\theta d\theta=\frac{3}{8}$$
仮設２：偏光は確定していない
この場合は、偏光板を通過した時点で、偏光が確定することになります。２つの光子は１つの量子状態を共有しており、一方を測定するともう一方の測定結果の確率分布が更新されます。
例えば、偏光板Ｌの通過が先に起こったとすると、偏光板Ｌを通過した時点で光子Ｌの偏光がｘ軸方向に確定し、それに伴い、光子Ｒの偏光がｙ軸方向に確定します。
光子Ｌが偏光板Ｌを通過する確率は①より1/2であり、ｙ軸方向に偏光した光子Ｒが偏光板Ｒを通過する確率は１であるため、検出器Ｌと検出器Ｒで同時に検出される事象は1/2の確率になります。
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=\frac{1}{2}$$
結論
結論を言うと、実験結果は仮説２になります。光子が観測される前は、２つの光子の状態は確定しておらず、片方の観測結果が、もう片方の状態に影響を及ぼす関係にあります。この状態のことを量子もつれと呼びます。
| 仮設 | 光子の偏光は観測前に | 双方で光子が検出される確率 | 実験 |
| 仮設１ | 確定している | 3/8 | × |
| 仮設２ | 確定していない | 1/2 | ○ |
