重力場のニュートン近似

/相対論

重力場の方程式

アインシュタインの重力場の方程式は、万有引力や重力場を記述するための方程式で、ニュートンの万有引力の法則を、強い重力場にも適用できるよう拡張されています。

物質が存在しない空間とは、重力以外どんな物理的な場も存在しない空間です。このときアインシュタイン方程式は、リッチテンソルを0とすることで表されます。

$$R_{ij}=0  -①$$

ここでリッチテンソルは、リーマン曲率テンソルの縮約によって求められます。ここで、カンマ(,)は微分 $A_{,i}\equiv\partial A/\partial x^i$ を表します。

$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k$$

ニュートン近似

ニュートン近似のため、次の3つの仮定を置きます。

  1. 重力場は静的である。
    ⇒計量の時間微分を0とする($g_{ij,0}=0$)
  2. 重力場の曲率は小さい。
    ⇒クリトッフェル記号を1次の微小量として、2次の項を省略する。
  3. 光速に比べ遅い速度とする。
    ⇒速度($v^i=dx^i/ds$)を1次の微小量として、2次の項を省略する。

まず、重力場の方程式①は、仮定1と仮定3により以下になります。

$$g^{kl}g_{00,kl}=0  -②$$

ここで、$g_{00}=1+2V$ と置くと、②は以下で表されます。

$$g^{kl}V_{,kl}=0  -②’$$

また、測地線の方程式(運動方程式)は、

$$\frac{dv^k}{ds}=-\Gamma^k_{ij}v^iv^j  -③$$

仮定1~3により以下になります。

$$\frac{dv^k}{dx^0}=g^{kl}(g_{00}^{1/2})_{,l}  -④$$

これは、$V$ により以下で表されます。

$$\frac{dv^k}{dx^0}=g^{kl}V_{,l}  -④’$$

この $V$ は、②’と④’により、ラプラスの方程式を満たし、運動方程式のポテンシャルの役割りを果たすことが分かります。

②の導出

①をリーマン曲率テンソルで表すと以下になります。

$$R_{ij}=R^k_{ijk}=g^{kl}R_{lijk}=0  -(11)$$

リーマン曲率テンソルは仮定3により以下になります。

$$R_{lijk}=g_{lm}R^m_{ijk}$$$$=g_{lm}(\Gamma^m_{ik,j}-\Gamma^m_{ij,k}+\Gamma^n_{ik}\Gamma^m_{nj}-\Gamma^n_{ij}\Gamma^m_{nk})$$$$\cong\Gamma_{lik,j}-\Gamma_{lij,k}$$

クリストッフェル記号の定義を代入すると、

$$=\frac{1}{2}(g_{li,k}+g_{lk,i}-g_{ik,l})_{,j}-\frac{1}{2}(g_{li,j}+g_{lj,i}-g_{ij,l})_{,k}$$$$=\frac{1}{2}(g_{lk,ij}-g_{ik,lj}-g_{lj,ik}+g_{ij,lk})$$

これを (11) に代入すると、①は以下になります。

$$g^{kl}(g_{lk,ij}-g_{ik,lj}-g_{lj,ik}+g_{ij,lk})=0$$

ここで、$i=j=0$ とすると、

$$g^{kl}(g_{lk,00}-g_{0k,l0}-g_{l0,0k}+g_{00,lk})=0$$

仮定により、計量の時間微分は0になるため、②が導かれます。

④の導出

距離の2乗について、

$$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$$

両辺を $ds$ で割ると、仮定3より以下になります。

$$1=g_{ij}v^iv^j\cong g_{00}v^0v^0  -(12)$$

③の右辺は、仮定3と仮定1により以下になります。

$$-\Gamma^k_{ij}v^iv^j\cong-\Gamma^k_{00}v^0v^0=-g^{kl}\Gamma_{l00}v^0v^0$$

$$=\frac{1}{2}g^{kl}g_{00,l}v^0v^0$$

③の左辺は、仮定3により以下になります。

$$\frac{dv^k}{ds}=\frac{dv^k}{dx^i}\frac{dx^i}{ds}\cong\frac{dv^k}{dx^0}v^0$$

従って、③は以下になります。

$$\frac{dv^k}{dx^0}=\frac{1}{2}g^{kl}g_{00,l}v^0$$

ここで、(12) より $v^0=(g^{00})^{-1/2}$ であるため、

$$\frac{dv^k}{dx^0}=\frac{1}{2}g^{kl}g_{00,l}(g^{00})^{-1/2}$$

従って、④が導かれます。

 

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