重力場のニュートン近似

重力場の方程式
ニュートン近似

重力場の方程式

アインシュタインの重力場の方程式は、万有引力や重力場を記述するための方程式で、ニュートンの万有引力の法則を、強い重力場にも適用できるよう拡張されています。

物質が存在しない空間とは、重力以外どんな物理的な場も存在しない空間です。このときアインシュタイン方程式は、リッチテンソルを０とすることで表されます。

$$R_{ij}=0　　－①$$

ここでリッチテンソルは、リーマン曲率テンソルの縮約によって求められます。ここで、カンマ（,）は微分 $A_{,i}\equiv\partial A/\partial x^i$ を表します。

$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k$$

ニュートン近似

ニュートン近似のため、次の３つの仮定を置きます。

重力場は静的である。
⇒計量の時間微分を０とする（$g_{ij,0}=0$）
重力場の曲率は小さい。
⇒クリトッフェル記号を１次の微小量として、２次の項を省略する。
光速に比べ遅い速度とする。
⇒速度（$v^i=dx^i/ds$）を１次の微小量として、２次の項を省略する。

まず、重力場の方程式①は、仮定１と仮定３により以下になります。

$$g^{kl}g_{00,kl}=0　　-②$$

ここで、$g_{00}=1+2V$ と置くと、②は以下で表されます。

$$g^{kl}V_{,kl}=0　　－②’$$

また、測地線の方程式（運動方程式）は、

$$\frac{dv^k}{ds}=-\Gamma^k_{ij}v^iv^j　　-③$$

仮定１～３により以下になります。

$$\frac{dv^k}{dx^0}=g^{kl}(g_{00}^{1/2})_{,l}　　-④$$

これは、$V$ により以下で表されます。

$$\frac{dv^k}{dx^0}=g^{kl}V_{,l}　　-④’$$

この $V$ は、②’と④’により、ラプラスの方程式を満たし、運動方程式のポテンシャルの役割りを果たすことが分かります。

②の導出

①をリーマン曲率テンソルで表すと以下になります。

$$R_{ij}=R^k_{ijk}=g^{kl}R_{lijk}=0　　-(11)$$

リーマン曲率テンソルは仮定３により以下になります。

$$R_{lijk}=g_{lm}R^m_{ijk}$$$$=g_{lm}(\Gamma^m_{ik,j}-\Gamma^m_{ij,k}+\Gamma^n_{ik}\Gamma^m_{nj}-\Gamma^n_{ij}\Gamma^m_{nk})$$$$\cong\Gamma_{lik,j}-\Gamma_{lij,k}$$

クリストッフェル記号の定義を代入すると、

$$=\frac{1}{2}(g_{li,k}+g_{lk,i}-g_{ik,l})_{,j}-\frac{1}{2}(g_{li,j}+g_{lj,i}-g_{ij,l})_{,k}$$$$=\frac{1}{2}(g_{lk,ij}-g_{ik,lj}-g_{lj,ik}+g_{ij,lk})$$

これを (11) に代入すると、①は以下になります。

$$g^{kl}(g_{lk,ij}-g_{ik,lj}-g_{lj,ik}+g_{ij,lk})=0$$

ここで、$i=j=0$ とすると、

$$g^{kl}(g_{lk,00}-g_{0k,l0}-g_{l0,0k}+g_{00,lk})=0$$

仮定により、計量の時間微分は０になるため、②が導かれます。