ポートフォリオのリターンとリスク

/金融工学

ポートフォリオとは、保有する株式や債券などの投資資産の組合せを表します。一般に、値動きに相関の無い資産を組み合わせたポートフォリオのリスクは、各資産単体のリスクより低減されることが分かっています。

以下、2銘柄のポートフォリオに分散投資した場合のリターンとリスクを求めます。

リターン

資産 $i$ の収益率を $R_i$、投資比率を $w_i$ とすると、ポートフォリオの収益率は以下で求められます。

$$R=w_1R_1+w_2R_2  -①$$$$w_1+w_2=1$$

ポートフォリオの期待投資収益率 $E[R]$ は以下で定義します。

$$E[R]\equiv w_1E[R_1]+w_2E[R_2]$$

各資産のリターンを改めて $\mu_i=E[R_i]$ とすると、ポートフォリオのリターン $\mu$ は以下のように表すことができます。

$$\mu=w_1\mu_1+w_2\mu_2  -②$$

リスク

ポートフォリオの分散 $V$ と標準偏差 $\sigma$ は以下で定義されます。ポートフォリオの分散($V[R]$)は、過去の一定期間の平均から求められます。

$$V[R]\equiv E[(R-E[R])^2]  -③$$$$\sigma(R)\equiv\sqrt{V[R]}$$

①のような2資産の場合は、リスクは次のように書き替えることができます。

$$V[R]=w_1^2V[R_1]+2w_1w_2C(R_1,R_2)+w_2^2V[R_2]  -④$$$$=w_1^2\sigma_1^2+2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}+w_2^2\sigma_2^2$$

尚、$C(R_1,R_2)$ は共分散、$\rho_{12}$ は相関係数を表します。

④を導く

①と②を③に代入し、公式 $E[x+y]=E[x]+E[y]$ を使うと、

$$V[R]=E[(R-E[R])^2]$$$$=E[(w_1R_1+w_2R_2-w_1\mu_1-w_2\mu_2)^2]$$$$=E[w_1^2(R_1-\mu_1)^2+2w_1w_2(R_1-\mu_1)(R_2-\mu_2)+w_2^2(R_2-\mu_2)^2]$$$$=w_1^2E[(R_1-\mu_1)^2]+2w_1w_2E[(R_1-\mu_1)(R_2-\mu_2)]+w_2^2E[(R_2-\mu_2)^2]$$$$=w_1^2V[R_1]+2w_1w_2C(R_1,R_2)+w_2^2V[R_2]$$

共分散と相関係数

ポートフォリオの共分散とは、2資産の相関性を表す尺度です。2資産の共分散は、以下で定義されます。

$$C(R_1,R_2)\equiv E[(R_1-E[R_1])(R_2-E[R_2])]$$

共分散がプラスの場合は、2つの資産の値動きは同じ方向に動きます。例えば、資産1が値上がりすれば、資産2も上がります。マイナスの場合は、2つの資産の値動きは逆の方向となります。共分散が0の場合は、2資産の間に相関関係が無いことが言えます。

尚、共分散は資産同士の相関性の有無を表すことができますが、相関性の強弱を表すことはできません。2資産の相関性の強弱を表す尺度は相関係数で、以下で定義されます。

$$\rho_{12}\equiv\frac{C(R_1,R_2)}{\sigma(R_1)\sigma(R_2)}$$

相関係数は、-1から1までの値をとります。2資産の全く同じ値動きを取る場合は1、全く逆の動きになる場合は-1となります。

 

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