不確定性原理とは

量子力学

不確定性原理とは、量子力学において、2つの物理量を測定した場合に、それぞれの物理量の不確定性が同時にゼロにならないとする原理です。

但し、不確定性原理は、観測者効果による不確定性と、波動現象による不確定性の2つの意味で使われます。

観測者効果による不確定性

観測者効果とは、ある系を測定する場合、その測定の行為自身が系に影響を与えてしまうというものです。これは、観測対象が量子系などのミクロな場合により顕著に現れるため、量子系の波動現象にともなう不確定性と混同されてきました。

例えば、空中に投げられたボールを観測する場合を考えます。観測するためには光を当てる必要がありますが、当てた光によってボールの軌道が変わることはありません。古典論の世界(日常生活)では、ボールの位置と速度は正確に観測することができます。

観測の対象が電子の場合は、光(光子)を当てることで、電子の軌道に影響を与えてしまいます。

運動量が $p=h/\lambda$ の光子を当てると、その運動量だけ電子の運動量にも影響を与えます。影響を小さくするためには、運動量の小さい(波長の長い)光子を当てる必要がありが、波長を長くすると、それだけ位置の精度に不確定さが出てきます。

結局、運動量 $p$ と位置 $x$ は同時に正確に求めることができず、以下の表される程度の不確定さは出てしますのです。

$$\Delta x\cdot\Delta p\cong h$$

これが、1927年にハイゼンベルグが提案した不確定性原理です。

ここで、「観測できないだけで、確定した値は存在している?」という疑問が出ますが、実はそうではないのです。

波動現象にともなう不確定性

波動現象にともなう不確定性とは、全ての波のような系にもともと備わっている特性であり、量子系の物質波の性質によって現われるとされています。そのため、測定器の誤差や測定による反作用などの不確定性とは区別して考える必要があります。

量子力学では、物理量は演算子で表されます。古典力学では物理量は実数なので、掛算の順序を入れ替えても結果は変わりません。しかし、演算子の場合は、掛算の順序を入れ替えると結果が変わります。

例えば、位置 $x$ と運動量 $p_x$ の場合、量子力学では以下のように、掛算の順序を入れ替えると差が生じます。このことを、非可換といいます。

$$[x,p_x]=xp_x-p_xx=i\hbar$$

一般に、非可換な物理量(演算子)の間では不確定性関係が発生します。これは、観測による不確定性ではなく、本質的に不確定なのです。つまり、確定した値はこの世に存在していないということです。

不確定性の計算

不確定性は、統計学的には標準偏差によって表されます。物理量 $A$ の期待値を $\braket{A}$ とすると、不確定性はそれらの差分 $\Delta A$($=A-\braket{A}$)の標準偏差 $\sigma$ で表すことができます。

$$\sigma=\sqrt{\braket{(\Delta A)^2}}=\sqrt{\braket{A^2}-\braket{A}^2}$$

 

量子力学
シュレディンガー方程式、波動関数、量子もつれ、ベルの不等式、不確定性原理、ボーアの原子模型
数理の散策路
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

Wikipedia

 

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