シュレディンガー方程式を導く

/量子力学

シュレディンガー方程式を導く

シュレディンガー方程式とは、電子などのミクロな状態の振る舞いを表す方程式です。このミクロな状態は、波動関数によって表すことができます。以下、シュレディンガー方程式を形式的に導きます。

時間に依存しないシュレディンガー方程式

ド・ブロイは、物質は波としての性質を持つとの概念(物質波)を導入しました。古典力学では、x方向に速度vで移動する波は、一般的に以下の形で表されます。

$$\psi(x,t)=\psi(kx-\omega t)=\phi(x)e^{-i\omega t}  ,  v=\frac{\omega}{k}$$

また、波動方程式は以下の形を持ちます。

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}-v^2\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=0$$

波動関数を代入すると、時間に依存しない波動方程式が得られます。

$$\phi+\frac{1}{k^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=0$$

これに、ド・ブロイの関係式($p=\hbar k$)と、古典力学でのエネルギーの式

$$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)$$

を代入すると、以下の方程式が得られます。これが、時間を含まないシュレディンガー方程式です。

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+V(x)\phi=E\phi$$

尚、3次元の場合は、以下で表されます。

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi+V({\bf r})\phi=E\phi$$

時間に依存するシュレディンガー方程式

古典力学の波動関数に、光量子のエネルギーの関係式($E=\hbar\omega$)を代入します。

$$\psi(x,t)=\phi(x)e^{-iEt/\hbar}$$

この両辺を時間で微分すると、時間を含むシュレディンガー方程式が得られます。

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=E\psi$$

右辺のエネルギー $E$ は、ハミルトニアン $H$ に置換えることができるので、波動関数の時間変化は以下の方程式で求めることができます。これが、一般形式のシュレディンガー方程式です。

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi$$

注意

以上では、一見シュレディンガー方程式を導き出したように見えますが、実際は古典的な波動方程式に、ド・ブロイの関係式を当てはめ、「物質波もこの方程式に従うのではないか」と予想しただけです。そのため、このシュレディンガー方程式が正しいかどうかは、具体的な問題を解くことで確認する必要があります。

古典力学からの移行方法

量子力学では、物理量は演算子として置換えることができます。そのため、古典物理のハミルトニアンから、座標($r$)、運動量($p$)、角運動量($l$)などについて、以下の変換を行うことで、シュレディンガー方程式を導くことができます。

物理量 演算子
座標 ${\bf r}$ ${\bf r}$
運動量 ${\bf p}$ $-i\hbar\nabla$
角運動量 ${\bf l}={\bf r}\times{\bf p}$ ${\bf l}=-i\hbar{\bf r}\times\nabla$
ハミルトニアン $H$ $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

例えば、ハミルトニアンが、

$$H=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+V({\bf r})$$

である場合、シュレディンガー方程式は以下になります。

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V({\bf r})\psi$$

 

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