リーマン曲率テンソルとは

/幾何学

リーマン曲率テンソル

リーマン曲率テンソルとは、空間の曲率を表すテンソルで、平らな空間の場合は0になります。リーマン曲率テンソルは、2階の共変微分の順序を入れ替えた際の差分を表します。

$$A_lR_{ijk}^l=A_{i:j:k}-A_{i:k:j}  -①$$

ここでリーマン曲率テンソル $R_{ijk}^l$ は以下で定義されます。

$$R_{ijk}^l\equiv\Gamma_{ik,j}^l-\Gamma_{ij,k}^l+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l  -②$$

共変微分については、次の記事を参照ください。

共変微分とは | 散策路
目次 共変微分とはテンソルの条件反変微分はテンソルではない共変微分はテンソルである 共変微分とは 共変微分とは、曲線座標においてテンソルとなる微分です。物理法則は、座標系に関わらず成り立つものであるため、場の微分は共変微

リーマン曲率テンソルを導く

①は共変微分の定義である2つの式、

$$A_{i:j}=A_{i,j}-\Gamma_{ij}^lA_l  -②$$

$$T_{ij:k}=T_{ij,k}-\Gamma_{ik}^lT_{lj}-\Gamma_{jk}^lT_{il}  -③$$

を使って確認することができます。まず、①の右辺1項の $A_{i:j}$ をテンソルとみなし、③を使うと、

$$A_{i:j:k}=A_{i:j,k}-\Gamma_{ik}^lA_{l:j}-\Gamma_{jk}^lA_{i:l}$$

これに共変微分に②を使うと、

$$A_{i:j:k}=(A_{i,j}-\Gamma_{ij}^lA_l)_{,k}-\Gamma_{ik}^l(A_{l,j}-\Gamma_{lj}^mA_m)-\Gamma_{jk}^l(A_{i,l}-\Gamma_{il}^mA_m)$$

次に同様にして $A_{i:k:j}$ を求めると、

$$A_{i:k:j}=(A_{i,k}-\Gamma_{ik}^lA_l)_{,j}-\Gamma_{ij}^l(A_{l,k}-\Gamma_{lk}^mA_m)-\Gamma_{kj}^l(A_{i,l}-\Gamma_{il}^mA_m)$$

①の左辺($A_{i:j:k}-A_{i:k:j}$)を計算し、$A_{i,j,k}=A_{i,k,j}$ と $\Gamma^l_{jk}=\Gamma^l_{kj}$ を利用すると、①の右辺(リーマン曲率テンソル)が導かれます。

対称性

リーマン曲率テンソルは次の対称性を持ちます。

$$R_{jkl}^l=-R_{jlk}^i$$

これは、リーマン曲率テンソルの定義②より分かります。

$$R_{ijkl}=-R_{jikl}$$

これは以下のようにして確認できます。まず、$g_{in}$ を掛けて添え字を下します。

$$R_{ijkl}=g_{in}R^n_{jkl}=g_{in}\Big(\Gamma_{jl,k}^n-\Gamma_{jk,l}^n+\Gamma_{jl}^m\Gamma_{mk}^n-\Gamma_{jk}^m\Gamma_{ml}^n\Big)$$

従って、

$$R_{ijkl}=\Gamma_{ijl,k}-\Gamma_{ijk,l}+\Gamma_{jl}^m\Gamma_{imk}-\Gamma_{jk}^m\Gamma_{iml}$$

$$R_{ijkl}=R_{klij}=R_{lkji}$$

 

 

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