直交曲線座標とは

解析学

直交曲線座標

直交曲線座標とは、局所的には各基底ベクトルが互いに直交している、曲がった空間の座標系です。以下は、3次元空間の場合を扱います。

直交曲線座標($q_1,q_2,q_3$)と直交平面座標($x_1,x_2,x_3$)の座標変換は、一般に以下で表されます。

$$dx_i=\sum_{j=1}^3\frac{\partial x_i}{\partial q_j}dq_j$$

このとき、座標変換を行っても”長さ”($ds$)は不変であるため、以下が成り立ちます。尚、和は全て1~3で行うものとします。

$$ds^2=\sum_idx_i^2=\sum_i\sum_{j,k}\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}dq_jdq_k$$

計量の定義

座標系の計量(メトリック)を導入します。

$$h_{jk}\equiv\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$$

ここで、直交条件 $h_{jk}=0$($j\ne k$)を導入し、計量の対角成分を $\sqrt{h_{jj}}\to h_j$ と置き換えると、

$$h_j^2=\sum_i\Big(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\Big)^2  -①$$

さらに、座標変換は以下のように書くことができ、

$$dx_i=h_idq_i$$

微小体積は以下で表すことができます。

$$dx_1dx_2dx_3=h_1h_2h_3dq_1dq_2dq_3$$

ベクトルの微分

微分は以下のように書き換えられます。

$$\frac{\partial}{\partial x_i}=\sum_j\frac{\partial q_j}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial q_j}$$

ベクトルの微分の勾配(grad)、分散(div)、回転(rot)、ラプラシアン($\nabla^2$)は以下で表されます。

$$\mathrm{grad}S=\Big(\frac{\partial S}{h_1\partial q_1},\frac{\partial S}{h_2\partial q_2},\frac{\partial S}{h_3\partial q_3}\Big)$$

$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left(\frac{\partial}{\partial q_1}(h_2h_3A_1)+\frac{\partial}{\partial q_2}(h_3h_1A_2)+\frac{\partial}{\partial q_3}(h_1h_2A_3)\right)$$

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_i=\frac{1}{h_jh_k}\left(\frac{\partial}{\partial q_j}(h_kA_k)-
\frac{\partial}{\partial q_k}(h_jA_j)\right)$$

$$\nabla^2=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\partial}{\partial q_2}\right)+
\frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial}{\partial q_3}\right)\right]$$

極座標

極座標($r,\theta,\phi$)の場合を考えます。尚、$\theta$ はz軸回り($0\sim2\pi$)、$\phi$ はy軸回り($0\sim\pi$)にとります。座標変換は以下で表されるため、

$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi} , y=r\sin{\theta}\sin{\phi} , z=r\cos{\theta}$$

①より計量は以下で表されます。

$$(h_1,h_2,h_3)=(1,r,r\sin{\theta})$$

これにより微小体積は、

$$dxdydz=r^2\sin{\theta}drd\theta d\phi$$

ラプラシアンは以下になります。

$$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Big[\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\Big]$$

 

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