ネーターの定理を導く

場の量子論

ネーターの定理とは

ネーターの定理とは、ある系に対称性がある場合は、それに対応した保存則があることを示した定理です。例えば、並進対称がある場合は、エネルギーと運動量の保存則が成り立ち、回転対称性がある場合は、角運動量の保存則が成り立ちます。

微小変換と不変量

座標の微小変換を以下で定義します。$\epsilon_{ij}$ は反対称テンソル($\epsilon_{ij}=-\epsilon_{ji}$)で、第2項は回転操作、第3項は並進操作を表します。

$$x_i \to x_i’=x_i+\delta x_i=x_i+\epsilon_{ij}x_j+\delta_i  -①$$

これによる場の変換を以下であると仮定します。$S_{rs}^{ij}$ はi、jに関して反対称になります。

$$\phi_r(x) \to \phi_r'(x’)\equiv\phi_r(x)+\delta_T\phi_r(x)=\phi_r(x)+\frac{1}{2}\epsilon_{ij}S_{rs}^{ij}\phi_s(x)  -②$$

これらの変換に対する系の不変性とは、ラグラジアン密度の形が変わらないということを意味します。

$${\mathcal L}(\phi_r'(x’),\phi_{r,i}'(x’))={\mathcal L}(\phi_r(x),\phi_{r,i}(x))  -③$$

連続の方程式

4元ベクトル(ネーターカレント)を、

$$f^i\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial \phi_{r,i}}\delta_T\phi_r-T^{ij}\delta x_j$$

で定義すると、連続の方程式は以下で表されます。ここで $T^{ij}$ は、エネルギー運動量テンソルと呼ばれます。

$$\frac{\partial f^i}{\partial x^i}=0$$

4元ベクトルを $(f^0,f^1,f^2,f^3)=(c\rho,{\bf f})$ と書き換えると以下の式が得られます。

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot{\bf f}$$

エネルギーと運動量の保存則

エネルギー運動量テンソルを、

$$T^{ij}\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\frac{\partial\phi_r}{\partial x_j}-{\mathcal L}\delta^{ij}$$

で定義すると、エネルギーと運動量の保存則は以下で表されます。

$$\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^i}=0$$

ここで、4元運動量を以下で定義すると、

$$cP^i\equiv\int d^3xT^{0i}$$

次の4つの保存量が得られます。

$$cP^0=\int d^3x\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{\phi}_r}\dot{\phi}_r(x)-{\mathcal L}\Big)=\int d^3x{\mathcal H}=H$$

$$P^j=\int d^3x\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{\phi}_r}\frac{\partial\phi_r}{\partial x_j} , j=1,2,3$$

角運動量の保存則

場の角運動量演算子を、

$$M^{ijk}\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}S_{rs}^{jk}\phi_s(x)+(x^jT^{ik}-x^kT^{ij})$$

で定義すると、角運動量の保存則は以下で表されます。

$$\frac{\partial M^{ijk}}{\partial x^i}=0$$

ネーターの定理を導く

②の $\delta_T\phi_r(x)$ を場の変化と座標変換を分けて書き直すと、

$$\delta_T\phi_r(x)=[\phi_r'(x’)-\phi_r(x’)]+[\phi_r(x’)-\phi_r(x)]=\delta\phi_r(x’)+\frac{\partial\phi_r}{\partial x_j}\delta x_j$$

ここで、右辺第2項で2次の微小量を無視すると、$\delta\phi_r(x’)\cong\delta\phi_r(x)$ より、

$$\delta_T\phi_r(x)=\delta\phi_r(x)+\frac{\partial\phi_r}{\partial x^j}\delta x^j  -④$$

ラグラジアン密度③についても同様に考えると、

$$0={\mathcal L}(\phi_r'(x’),\phi_{r,i}'(x’))-{\mathcal L}(\phi_r(x),\phi_{r,i}(x))=\delta{\mathcal L}+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial x^i}\delta x^i$$

この第2項を書き直すと、

$$\delta{\mathcal L}=-\frac{\partial}{\partial x^i}({\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j)$$

さらに、左辺を書き直すと、

$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_r}\delta\phi_r+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\delta\phi_{r,i}=-\frac{\partial}{\partial x^i}({\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j)$$

この右辺をラグランジュ方程式

$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_r}-\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\Big)=0$$

で書き直すと、

$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big[\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\delta\phi_r\Big]=-\frac{\partial}{\partial x^i}({\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j)$$

④より $\delta\phi_r(x)$ を削除し、整理すると、

$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big[\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\Big(\delta_T\phi_r-\frac{\partial\phi_r}{\partial x^j}\delta x^j\Big)+{\mathcal L}\delta_{ij}\delta x^j\Big]=0$$

ここでエネルギー運動量テンソルの定義より、連続の方程式が得られます。

並進操作の場合

並進操作($\epsilon_{ij}=0$)の場合、①より $\delta x_i=\delta_i$、②より $\delta_T\phi_r=0$ から、4元ベクトル量は定義式より、

$$f^i=-T^{ij}\delta_j$$

となるため、エネルギーと運動量の保存則を得ることができます。

回転操作の場合

回転操作($\delta_j=0$)の場合、①より $\delta x_j=\epsilon_{jk}x_k$、②より $\delta_T\phi_r=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}S_{rs}^{jk}\phi_s(x)$ から、4元ベクトル量は定義式は、$\epsilon_{jk}$ の反対称性を利用すると、

$$f^i=\frac{1}{2}\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi_{r,i}}\epsilon_{jk}S_{rs}^{jk}\phi_s(x)-T^{ij}\epsilon_{jk}x^k=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}M^{ijk}$$

となるため、角運動量の保存則を得ることができます。

 

場の量子論
クライン・ゴルドンの方程式、ディラック方程式
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Wikipedia

 

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