ローレンツ変換とは

/相対論

ローレンツ変換とは、2つの慣性系(等速運動する系)の間の座標変換です。特殊相対論では、全ての慣性系において物理学の法則は変わらないとしていますので、ローレンツ不変な形で記述される必要があります。

ローレンツ変換の導出

ローレンツ変換は、数学的には以下の値を不変にする変換として定義されます。$ds^2=0$は原点を通る光錐を表し、$ds^2>0$は光速より遅い運動の領域を表します。

$$ds^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$$

話しを簡単にするため、時間軸(t)とx軸のみを考える場合、2つの座標(t、x)と(t’、x’)のローレンツ変換Lは以下で表されます。

$$ \left(\begin{array}{cc} ct’ \\ x’ \end{array}\right) =L
\left(\begin{array}{cc} ct \\ x \end{array}\right)    -①$$

2つの座標間で、$ds^2=c^2t^2-x^2$が不変であることを行列で表すと以下になります。

$$ \left(\begin{array}{cc} ct’ & x’ \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} ct’ \\ x’ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} ct & x \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} ct \\ x \end{array}\right)$$

こられの式から、(t’、x’)を消すと以下が得られます。

$$ L^t\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) L=
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

この式を満たす変換Lは定数aにより表すことができます。

$$L=\left(\begin{array}{cc}a & \sqrt{a^2-1} \\ \sqrt{a^2-1} & a \end{array}\right)
$$

ここで、S系に対し速度vで運動するS’系を考えます。この時、S系の原点(x=0)は、S’系から見ると、-vで運動しているように見えます。

$$L\left(\begin{array}{cc} ct \\ 0 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} ct’ \\ x’ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} ct’ \\ -vt’ \end{array}\right)$$

これより、aを求めると、ローレンツ変換は以下の式で得られます。

$$L=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(\begin{array}{cc}1 & \pm\beta \\ \pm\beta & 1\end{array}\right)  ,  \beta\equiv\frac{v}{c}$$

ローレンツ変換の特徴

S系に対し速度vで運動するS’系を考えます。①は以下のように書き下すことができます。

$$t’=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)  ,  x’=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(-vt+x\right)    -②$$

非相対論近似

光速に比べ十分に小さい場合(v<<c)、ローレンツ変換はガリレイ変換に近似されます。

$$\lim_{v<<c}L=\left(\begin{array}{cc}1 & \ 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$$

同時刻の相対性

②より、S’系の2つの時刻の差分をとります。S系で $t_1=t_2$ がS’系では $t_1’\neq t_2’$ となり、ある系で同時に起こっている事象が、別の系からは異なる時刻に見えてしまうことが分かります。

$$t’_2-t’_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left((t_2-t_1)-\frac{v}{c^2}(x_2-x_1)\right)    -③$$

時間の遅れ

③より、同じ位置($x_1=x_2$)とすると以下になります。右辺の分母は1より小さいので、運動している系の時間は伸びて(遅れて)見えることが分かります。

$$t’_2-t’_1=\frac{t_2-t_1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

ローレンツ収縮

②より、S’系の2つの時刻の差分をとります。③よりtをt’に置き換えて、同時刻($t_1’=t_2’$)とすると以下になります。運動している系は縮んで見えることが分かります。尚、これは進行方向であるx軸のみで、それ以外の方向は変わりません。

$$x’_2-x’_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(-v(t_2-t_1)+(x_2-x_1)\right)=\sqrt{1-\beta^2}(x_2-x_1)$$

光速の限界

S’系に対して速度vで運動するS系上での速度uの運動を考えます。非相対論では、S’系から見たときの速度の合成はv+uとなりますが、ローレンツ変換では②より以下になります。今回は方向が逆になるので、-vをvと置き換えます。

$$V’=\frac{x’}{t’}=\frac{v+u}{1+vu/c^2}$$

vとuは光速の90%とします。非相対論で考えると、合成された速度は光速を超えます(光速の1.8倍)が、上の式で考えると、光速の99.4%程度にしかなりません。つまり、光の速度を超えることはできないのです。

 

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