初等関数の公式

/数学基礎

 

指数関数

指数関数とは、以下のように冪における指数($x$)を変数とする関数ですが、

$$y=a^x$$

狭義では、以下のネイピア数 $e$ を底とする指数関数を指します。

$$y=e^x$$

$$e\equiv\lim_{x \to \infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\cong2.718$$

対数関数

対数関数 $\log$ の公式を指数との対比で整理します。

指数 対数
$a^x=y$ $x=\log_a{y}$
$a^0=1$ $0=\log_a{1}$
$a^1=a$ $1=\log_a{a}$
$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$ $\log_a{xy}=\log_a{x}+\log_a{y}$
$$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$ $$\log_a{\frac{x}{y}}=\log_a{x}-\log_a{y}$$

その他、対数関数には以下の関係式が成り立ちます。

$$\log_a{x^b}=b\log_a{x}$$

$$\log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}$$

三角関数

三角関数は直角三角形の各辺の比として定義されます。

$$\sin{x}\equiv\frac{BC}{AC}  ,  \cos{x}\equiv\frac{AB}{AC}  ,  \tan{x}\equiv\frac{BC}{AB}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$

その他、三角関数には以下の関係式が成り立ちます。

$$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$$

$$\sin{x}\lt x\lt\tan{x}  (0\le x\le \pi/2)$$

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

三角関数の加法定理は以下になります。

$$\sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$$

$$\cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$$

$$\sin{x}+\sin{y}=2\sin{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)}$$

$$\cos{x}+\cos{y}=2\cos{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)}$$

オイラーの公式

オイラーの公式により、指数関数と三角関数が関係が示されます。

$$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$$

この公式は簡単に証明できます。まず、関数 $f(x)=e^{-ix}(\cos x +i\sin x)$ を考えます。両辺の微分をとると $f'(x)=0$ より、$f(x)$ は一定値となります。これより、$f(x)=f(0)=1$ と置き、両辺に $e^{ix}$ を掛けると得られます。

オイラーの公式より、以下の関係式は導かれます。

$$e^{i\pi}=-1$$

$$e^{ix}=e^{i(x+2n\pi)}$$

$$\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}  ,  \sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

双曲線関数

双曲線関数は以下で定義されます。

$$\cosh{x}\equiv\frac{e^x+e^{-x}}{2}  ,  \sinh{x}\equiv\frac{e^x-e^{-x}}{2}  ,  \tanh{x}\equiv\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}$$

双曲線関数には以下の関係式が成り立ちます。特に2つ目の関係式より、この関数が双曲線を表すことが分かります。

$$e^x=\cosh{x}+\sinh{x}$$

$$\cosh^2{x}-\sinh^2{x}=1$$

$$\sinh{x}=i\sin{(ix)}  ,  \cosh{x}=\cos{(ix)}$$

双曲線関数の加法定理は以下になります。

$$\sinh{(x+y)}=\sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{y}$$

$$\cosh{(x+y)}=\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}$$

$$\sinh{x}+\sinh{y}=2\sinh{\Big(\frac{x+y}{2}\Big)}\cosh{\Big(\frac{x-y}{2}\Big)}$$

$$\cosh{x}+\cosh{y}=2\cosh{\Big(\frac{x+y}{2}\Big)}\cosh{\Big(\frac{x-y}{2}\Big)}$$

 

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