ラグランジュ補間法とは

/数値計算

ラグランジュ補間法とは

ラグランジュ補間法とは、離散的なデータが与えられている場合に、これらの全ての点を通る多項式を求めて、データ間の値の近似を行う手法です。

自然現象を測定あるいは記録する場合、連続信号は離散的なデータに変換されてしまうので、その間の値が必要な場合には、このような関数補間の手法が使われます。

n次の多項式

一般に $n+1$ の点($x_0,y_0$)、($x_1,y_1$)・・・($x_n,y_n$)が与えられた場合、全ての点を通過する曲線は、$n$ 次の多項式で表すことができます。この多項式は以下のように表すことができます。

$$y\equiv y_0z_0+y_1z_1+\cdots+y_nz_n  -①$$

$$z_k=\prod_{i=0,i\ne k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}  -②$$

尚、$z_k$ は $i=k$ 以外の全ての項の積を取るため、$n$ 次の関数となります。また、$x=x_k$ で $z_k=1$ となり、$x\ne x_k$ では $z_k=0$ となることが分かります。

ラグランジュ補間法を導く

ラグランジュ補間法の意味を考えます。

2点を通る多項式

2個の点の場合は1次関数となるため、①は、

$$y=y_0z_0+y_1z_1$$

このとき、この直線は($x_0,y_0$)、($x_1,y_1$)を通るため、$x$ と $z_k$ の関係は以下になります。

$x=x_0$ $z_0=1$ $z_1=0$
$x=x_1$ $z_0=0$ $z_1=1$

これは $z_0$ と $z_1$ が以下の場合に成り立つことが分かります。

$$z_0=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$$$$z_1=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$$

3点を通る多項式

同様に、3個の点の場合は2次関数となるため、①は、

$$y=y_0z_0+y_1z_1+y_2z_2$$

このとき、この曲線は($x_0,y_0$)、($x_1,y_1$)、($x_2,y_2$)を通るため、$x$ と $z_k$ の関係は以下になります。

$x=x_0$ $z_0=1$ $z_1=0$ $z_2=0$
$x=x_1$ $z_0=0$ $z_1=1$ $z_2=0$
$x=x_2$ $z_0=0$ $z_1=0$ $z_2=1$

これは $z_0$~$z_2$ が以下の場合に成り立つことが分かります。

$$z_0=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2}$$$$z_1=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2}$$$$z_2=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$

従って、一般に $n+1$ 個の点の場合は、$z_k$ は②で表されることが分かります。

 

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