初等関数の微分公式

/解析学

微分の定義

微分とは、関数などの値の変化率を測るものです。関数 $f(x)$ の微分は次のように定義されます。

$$\frac{dy(x)}{dx}=\lim_{h \to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$$

初等関数の微分

べき関数

べき関数の微分は以下になります。

$$\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}$$

導出

べき関数の微分は定義から求めることができます。$(x+h)^a$ をテイラー展開して、$h\to0$ としています。

$$\frac{d}{dx}(x^a)=\lim_{h\to0}\frac{((x+h)^a-x^a))}{h}$$$$=
\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\Big(x^a(1+\frac{ah}{x}+\frac{a(a-1)h^2}{x^2}+\cdots)-x^a\Big)=ax^{a-1}$$

指数関数

指数関数の微分は以下になります。

$$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x \ln{a}$$$$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$

導出

$a^h-1=1/t$($h\to0$ で $t\to\infty$)と置くと、

$$h=\log_a\Big(1+\frac{1}{t}\Big)$$

微分の定義より、

$$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$$$$=
a^x\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t\log_a\Big(1+\frac{1}{t}\Big)}=a^x\frac{1}{\log_ae}=a^x\ln{a}$$

途中、次のネイピア数の定義を使っています。

$$\lim_{t\to\infty}\Big(1+\frac{1}{t}\Big)^t=e$$

対数関数

対数関数の微分は以下になります。

$$\frac{d}{dx}\left(\log_ax\right)=\frac{1}{x\ln{a}}$$$$\frac{d}{dx}\left(\ln{x}\right)=\frac{1}{x}$$

導出

$\log_a{x}=y$ と置くと、$x=a^y$ であるから、両辺を $x$ で微分すると、

$$1=\frac{dy}{dx}a^y\ln{a}=\frac{dy}{dx}x\ln{a}$$

自然対数の場合は、$a=e$ と置くと得られます。

三角関数

三角関数の微分は以下になります。

$$\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}$$$$\frac{d}{dx}(\cos{x})=-\sin{x}$$$$\frac{d}{dx}(\tan{x})=\frac{1}{\cos^2{x}}$$

導出

微分の定義式より、

$$\frac{d}{dx}(\sin{x})=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$$$$=
\lim_{h\to0}\frac{2\cos{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{h}=\cos{x}$$

$$\frac{d}{dx}(\cos{x})=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$$$$=
\lim_{h\to0}\frac{-2\sin{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin{\left(\frac{h}{2}\right)}}{h}=-\sin{x}$$

ここで、次の近似を使っています。

$$\lim_{h\to0}\Big(\sin{\frac{h}{2}}\Big)=\frac{h}{2}$$

双曲線関数

双曲線関数の微分は以下になります。

$$\frac{d}{dx}(\sinh{x})=\frac{d}{dx}\Big(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\Big)=\cosh{x}$$

$$\frac{d}{dx}(\cosh{x})=\frac{d}{dx}\Big(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\Big)=\sinh{x}$$

$$\frac{d}{dx}(\tanh{x})=1-\tanh^2{x}=\frac{1}{\cosh^2{x}}$$

 

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