ボルツマン方程式を導く

物性物理

ボルツマン方程式とは

ボルツマン方程式とは、粒子間の衝突を考慮した、粒子の速度分布関数が従う方程式です。ボルツマン方程式は、ブラソフ方程式に衝突項が加わったもので、気体分子運動論やプラズマ物理の基本方程式とされています。

時刻tに位置が(${\bf r},{\bf r}+d{\bf r}$)、速度が(${\bf v},{\bf v}+d{\bf v}$)の範囲にある粒子数は、速度分布関数 $f$ により以下で表されると仮定します。

$$f({\bf r},{\bf v},t)d{\bf r}d{\bf v}$$

このとき、ボルツマン方程式は以下で表されます。$m$ は粒子の質量、$F$ は粒子に働く力です。

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_rv_r\frac{\partial f}{\partial x_r}+\sum_r\frac{F_r}{m}\frac{\partial f}{\partial v_r}=\Big(\frac{\delta f}{\delta t}\Big)_c$$

右辺は衝突項と呼ばれ、単位時間当たり、衝突により速度分布の範囲に入った(増えた)粒子数($f_i$)から、速度分布から出た(減った)粒子数($f_o$)を差し引いたものです。

$$\Big(\frac{\delta f}{\delta t}\Big)_c=\frac{\delta f_i-\delta f_o}{\delta t}=\int(f’f’_1-ff_1)|{\bf v}_1-{\bf v}|\sigma(\theta)d\Omega d^3{\bf v}_1$$

$\sigma(\theta)$ は微分散乱断面積と呼ばれ、入射粒子(速度 ${\bf v}_1$)からみて単位面積当たり1個の散乱中心(速度 ${\bf v}$)がある場合に、これによって散乱角 $\theta$ の単位立体角に散乱される粒子の割合を表します。$d\Omega$ は立体角です。

また、速度分布関数 $f$、$f_1$、$f’$、$f’_1$ はそれぞれの以下で定義します。

入射粒子 散乱中心
衝突前 $f_1=f({\bf r}_1,{\bf v}_1,t)$ $f=f({\bf r},{\bf v},t)$
衝突後 $f’_1=f({\bf r}’_1,{\bf v}’_1,t’)$ $f’=f({\bf r}’,{\bf v}’,t’)$

ボルツマン方程式を導く

時刻 $t’=t+\delta t$ に、位置が ${\bf r}’={\bf r}+\delta{\bf r}$、速度が ${\bf v}’={\bf v}+\delta{\bf v}$ に変化した場合、衝突なしで運動した場合の速度分布関数を $f_{nc}$ とすると、

$$f({\bf r},{\bf v},t)d^3{\bf r}d^3{\bf v}=f_{nc}({\bf r}’,{\bf v}’,t’)d^3{\bf r}’d^3{\bf v}’  -①$$

また、衝突がある場合の速度分布関数と衝突がない場合の速度分布関数の差は、衝突により $d^3{\bf r}’d^3{\bf v}’$ の範囲から出ていった粒子と、その範囲に入ってきた粒子と考え、それぞれ $\delta f_o$、$\delta f_i$ とすると、

$$f({\bf r}’,{\bf v}’,t’)d^3{\bf r}’d^3{\bf v}’=f_{nc}({\bf r}’,{\bf v}’,t’)d^3{\bf r}’d^3{\bf v}’+(\delta f_o-\delta f_i)d^3{\bf r}’d^3{\bf v}’$$

この式を①に代入し、リウビルの定理($d^3{\bf r}’d^3{\bf v}’=d^3{\bf r}d^3{\bf v}$)を適用すると、

$$f({\bf r}’,{\bf v}’,t’)d^3{\bf r}d^3{\bf v}-f({\bf r},{\bf v},t)d^3{\bf r}d^3{\bf v}=(\delta f_o-\delta f_i)d^3{\bf r}d^3{\bf v}$$

従って、

$$f({\bf r}+{\bf v}\delta t,{\bf v}+{\bf F}/m\delta t,t+\delta t)-f({\bf r},{\bf v},t)=\delta f_o-\delta f_i$$

この左辺を1次の微小量まで展開するとボルツマン方程式が得られます。

衝突項を導く

ラザフォード散乱の公式によると、入射粒子からみた単位面積当たり $n$ 個の散乱中心がある場合、散乱角 $\theta$、立体角 $d\Omega$ に散乱される入力粒子の個数 $N’_1$ は以下で表されます。

$$\frac{N’_1}{N_1}=n\sigma(\theta)d\Omega$$

まず、散乱によって出て行く粒子を考えます。入射粒子からみた単位面積当たりの散乱中心は、入力粒子と散乱中心の速度差 $|{\bf v}’-{\bf v}|$ に比例するため、

$$n=f({\bf r},{\bf v},t)|{\bf v}’-{\bf v}|d^3{\bf v}=f|{\bf v}’-{\bf v}|d^3{\bf v}$$

これによって散乱される単位体積当たりの入力粒子の割合は、入力粒子の速度分布関数 $f_1$ を掛けて $d^3{\bf v}_1$ で積分すればよいので、

$$\frac{\delta f_o}{\delta t}d^3{\bf v}=d^3{\bf v}\int ff_1|{\bf v}_1-{\bf v}|\sigma(\theta)d\Omega d^3{\bf v}_1  -②$$

次に、衝突によって入ってくる粒子を考えます。これは上記の逆で、速度 ${\bf v}’_1$ の入力粒子が速度 ${\bf v}’$ の散乱中心に衝突して、それぞれ ${\bf v}_1$、${\bf v}$ になったと考えると、

$$\frac{\delta f_i}{\delta t}d^3{\bf v}=d^3{\bf v}’\int f’f’_1|{\bf v}’_1-{\bf v}’|\sigma(\theta)d\Omega d^3{\bf v}’_1$$

ここで、リウビルの定理($d^3{\bf v}d^3{\bf v}_1=d^3{\bf v}’d^3{\bf v}’_1$)と弾性衝突($|{\bf v}_1-{\bf v}|=|{\bf v}’_1-{\bf v}’|$)であることを考慮すると、

$$\frac{\delta f_i}{\delta t}d^3{\bf v}=d^3{\bf v}\int f’f’_1|{\bf v}_1-{\bf v}|\sigma(\theta)d\Omega d^3{\bf v}_1  -③$$

従って、③-②を計算すると衝突項が得られます。

 

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