弾性波
弾性波（elastic wave）とは、弾性体中を伝わる変形波で、体積変化を伴う縦波（体積波）と、形状変化は生じるが体積変化を伴わない横波（等体積波）とに大別されます。弾性波は、外力がない場合の等方弾性体の基本方程式より導かれます。
$$\rho_0\frac{\partial^2{\bf u}}{\partial t^2}=(\lambda+\mu)\mathrm{grad}(\mathrm{div\,{\bf u}})+\mu\Delta{\bf u} -①$$$$\rho_0\frac{\partial^2u_i}{\partial t^2}=(\lambda+\mu)\frac{\partial}{\partial x_i}\Big(\frac{\partial u_j}{\partial x_j}\Big)+\mu\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j^2}$$
①の両辺に発散 $\mathrm{div}$ を取ると以下になります。これは体積歪み（密度変化）$\mathrm{div\,{\bf u}}$ が速度 $c_p$ で伝搬することを表す３次元の波動方程式です。
$$\Delta(\mathrm{div\,{\bf u}})-\frac{1}{c_p^2}\frac{\partial^2(\mathrm{div\,{\bf u}})}{\partial t^2}=0 -②$$$$c_p^2=\frac{2\mu+\lambda}{\rho_0}$$
①の両辺に回転 $\mathrm{rot}$ を取ると以下になります。これは弾性体素片の回転 $\mathrm{rot\,{\bf u}}$ が速度 $c_s$ で伝搬することを表す３次元の波動方程式です。
$$\Delta(\mathrm{rot\,{\bf u}})-\frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2(\mathrm{rot\,{\bf u}})}{\partial t^2}=0 -③$$$$c_s^2=\frac{\mu}{\rho_0}$$
平面波
以下、簡単のため平面波を考えます。平面波の進行方向を $x$ 軸に取り、変位ベクトル ${\bf u}$ を $X$ と $t$ の関数とします。このとき $\partial/\partial y=\partial/\partial z=0$ となるため、①を成分ごとに書き下すと、以下のような波動方程式が得られます。
$$\frac{\partial^2u_x}{\partial x^2}-\frac{1}{c_p^2}\frac{\partial^2u_x}{\partial t^2}=0 -⓸$$$$\frac{\partial^2u_y}{\partial x^2}-\frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2u_y}{\partial t^2}=0 -⑤$$$$\frac{\partial^2u_z}{\partial x^2}-\frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2u_z}{\partial t^2}=0 -⑥$$
これより、等方弾性体には２種類の波が存在することが分かります。これらは縦波および横波と呼ばれます。
- 縦波（longitudinal wave）
⓸は変位ベクトル成分と波の進行方向が平行な波を表します。地震波のＰ波（primary wave）に相当します。 - 横波（transverse wave）
⑤と⑥は変位ベクトル成分と波の進行方向が垂直な波で、地震波のＳ波（secondary wave）に相当します。
縦波と横波の速度の比を取り、ラメの弾性定数よりポアソン比は $0\le\sigma\le1/2$ であるため、
$$\frac{c_p^2}{c_s^2}=\frac{2\mu+\lambda}{\mu}=\frac{2-2\sigma}{1-2\sigma}\gt1$$
これより、縦波（Ｐ波）は横波（Ｓ波）より速く伝わることが分かります。
