ラメの弾性定数
ラメの弾性定数とは、弾性体に応力を与えたときの変位（歪み）の関係を表します。
弾性体の歪みエネルギーは以下で表されますが、
$$U=\frac{1}{2}C_{ijkl}q_{ij}q_{kl}$$
歪みエネルギーはスカラーであるため、この各項もスカラーになります。２階の対称テンソル $q_{ij}$ から作られる２次のスカラー量は $q_{ll}^2$ と $q_{ij}q_{ij}$ のみであるため、以下のように書き替えることができます。ここで、$\lambda$ と $\mu$ はラメの弾性定数と呼ばれています。
$$U\equiv\frac{1}{2}\lambda q_{ll}^2+\mu q_{ij}q_{ij}$$
フックの法則はラメの弾性定数により以下で表されます。
$$p_{ij}\equiv\frac{\partial U}{\partial q_{ij}}=\lambda q_{ll}\delta_{ij}+2\mu q_{ij} -①$$
ラメの弾性定数は、ヤング率 $Y$（⑦）とポアソン比 $\sigma$（⑧）により表すことができます。
$$\lambda=\frac{Y\sigma}{(1+\sigma)(1-2\sigma)} -②$$$$\mu=\frac{Y}{2(1+\sigma)} -③$$
弾性体の歪みエネルギーは、体積弾性率 $k$（⑩）により以下で表されます。最後の式は $\delta_{ij}^2=3$ を使っています。
$$U=\frac{1}{2}kq_{ll}^2+\mu\Big(q_{ij}q_{ij}-\frac{1}{3}q_{ll}^2\Big)$$$$=\frac{1}{2}kq_{ll}^2+\mu\Big(q_{ij}-\frac{1}{3}q_{ll}\delta_{ij}\Big)^2$$
この第１項は体積歪み、第２項は等積歪みを表します。それぞれの場合で歪みエネルギーが正 $U\ge0$ になるためには、係数の $k$ と $\mu$ が正である必要があります。
$$k\ge0 , \mu\ge0$$
これらと③⑪より、ヤング率とポアソン比の値の範囲は以下になります。但し、現実的な弾性体として $\sigma\ge0$ としています。
$$Y\ge0 , 0\le\sigma\le\frac{1}{2}$$
各種弾性率
①で $i=j$ と置くと、$\delta_{ll}=3$ より、$p_{ll}=(3\lambda+2\mu)q_{ll}$ となるため、これを①に代入して $q_{ll}$ を消去すると、以下のように書き替えられます。
$$q_{ij}=\frac{1}{2\mu}p_{ij}-\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}p_{ll}\delta_{ij} -⓸$$
ここで、 $p_{11}$ 以外を０と仮定すると、
$$q_{11}=\frac{\lambda+\mu}{\mu(3\lambda+2\mu)}p_{11} -⑤$$$$q_{22}=q_{33}=-\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}p_{11} -⑥$$$$q_{ij}=0 (i\ne j)$$
ヤング率
ヤング率とは、一方向に応力を加えたとき、応力とその方向の歪み（伸縮）の関係を表します。一方向の応力を $p_{11}$、その方向の歪みを $q_{11}$ とすると、⑤よりヤング率 $Y$ は以下で表されます。
$$p_{11}=Yq_{11}$$$$Y=\frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu} -⑦$$
ポアソン比
ポアソン比とは、一方向に応力を加えたとき、応力とその垂直方向の歪み（伸縮）の関係を表します。一方向の応力を $p_{11}$、その垂直方向の歪みを $q_{22}$（または $q_{33}$）とすると、⑥よりポアソン比 $\sigma$ は以下で表されます。
$$p_{11}=-\frac{Y}{\sigma}q_{22}=-\frac{Y}{\sigma}q_{33}$$$$\sigma=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} -⑧$$
剛性率
剛性率とは、せん断応力に対するせん断歪み（ずれ変形）の弾性率（変形のしにくさ）を表します。⓸で $i\ne j$ と置くと、
$$p_{ij}=2\mu q_{ij} (i\ne j)$$
体積弾性率
体積弾性率とは、静水圧 $p$ の関係式である
$$p_{ij}=-p\delta_{ij} -⑨$$
と体積歪み $q_{ll}$ の関係を表します。尚、最後の式は②と③を使っています。
$$p=-kq_{ll}$$$$k=\lambda+\frac{2}{3}\mu -⑩$$$$=\frac{Y}{3(1-2\sigma)} -⑪$$
⑩を導く
⓸に⑨を代入すると、
$$q_{ij}=-\frac{p}{3\lambda+2\mu}\delta_{ij}$$
ここで $i=j$ と置くと、$\delta_{ll}=3$ より、⑩が得られます。
$$q_{ll}=-\frac{3p}{3\lambda+2\mu}$$
