ラメの弾性定数とは

/連続体力学

ラメの弾性定数

ラメの弾性定数とは、弾性体に応力を与えたときの変位(歪み)の関係を表します。

弾性体の歪みエネルギーは以下で表されますが、

$$U=\frac{1}{2}C_{ijkl}q_{ij}q_{kl}$$

歪みエネルギーはスカラーであるため、この各項もスカラーになります。2階の対称テンソル $q_{ij}$ から作られる2次のスカラー量は $q_{kk}^2$ と $q_{ij}q_{ij}$ のみであるため、以下のように書き替えることができます。ここで、$\lambda$ と $\mu$ はラメの弾性定数と呼ばれています。

$$U\equiv\frac{1}{2}\lambda q_{kk}^2+\mu q_{ij}q_{ij}$$

このとき、フックの法則は以下で表されます。

$$p_{ij}\equiv\frac{\partial U}{\partial q_{ij}}=\lambda q_{ll}\delta_{ij}+2\mu q_{ij}  -①$$

各種弾性率

①で $i=j$ と置くと、$p_{ll}=(3\lambda+2\mu)q_{ll}$ となるため、これを①に代入して $q_{ll}$ を消去すると、以下のように書き替えられます。

$$q_{ij}=\frac{1}{2\mu}p_{ij}-\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}p_{ll}\delta_{ij}  -②$$

ここで、 $p_{11}$ 以外を0と仮定すると、

$$q_{11}=\frac{\lambda+\mu}{\mu(3\lambda+2\mu)}p_{11}  -③$$

$$q_{22}=q_{33}=-\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}p_{11}  -④$$

$$q_{ij}=0   (i\ne j)$$

ヤング率

ヤング率とは、一方向に応力を加えたとき、応力とその方向の歪み(伸縮)の関係を表します。一方向の応力を $p_{11}$、その方向の歪みを $q_{11}$ とすると、③よりヤング率 $Y$ は以下で表されます。

$$p_{11}=Yq_{11}$$$$Y=\frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu}$$

ポアソン比

ポアソン比とは、一方向に応力を加えたとき、応力とその垂直方向の歪み(伸縮)の関係を表します。一方向の応力を $p_{11}$、その垂直方向の歪みを $q_{22}$(または $q_{33}$)とすると、④よりポアソン比 $\sigma$ は以下で表されます。

$$p_{11}=-\frac{Y}{\sigma}q_{22}=-\frac{Y}{\sigma}q_{33}$$$$\sigma=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}$$

剛性率

剛性率とは、せん断応力に対するせん断歪みの弾性率を表します。②で $i\ne j$ と置くと、

$$p_{ij}=2\mu q_{ij}   (i\ne j)$$

体積弾性率

体積弾性率とは、静水圧 $p$($p_{ij}=-p\delta_{ij}$)と体積歪み $q_{ll}$ の関係を表します。

$$p=-kq_{ll}$$$$k=\lambda+\frac{2}{3}\mu  -⑤$$

導出

②に静水圧の式を代入すると、

$$q_{ij}=-\frac{p}{3\lambda+2\mu}\delta_{ij}$$

ここで $i=j$ と置くと⑤が得られます。

 

基礎物理
力学、連続体力学、電磁気学、波動・光学、相対論、熱力学、統計力学
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

 

タイトルとURLをコピーしました