ボース･アインシュタイン凝縮とは
ボース･アインシュタイン凝縮（Bose–Einstein condensation）とは、転移温度以下で、巨視的な数のボース粒子が１粒子状態に落ち込む相転移現象です。
ボーズ粒子は、以下のボース･アインシュタイン統計に従います。$f(\epsilon=0)\ge0$ である要請より、$\mu\le0$ であることが分かります。
$$f(\epsilon_k)=\frac{\bar{n}_k}{N}=\frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/kT}-1} -①$$
系の粒子数は、状態密度 $D(\epsilon)$ により以下で表されます。
$$N=\int_0^\infty D(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon -②$$$$D(\epsilon)=2\pi V\Big(\frac{2m}{h^2}\Big)^{3/2}\sqrt{\epsilon}\equiv C\sqrt{\epsilon} -③$$
ボース･アインシュタイン凝縮を導く
以下は系の粒子数 $N$ を、基底状態のエネルギー（$\epsilon=0$）の $N_0$ と、それ以外（$\epsilon\ne 0$）の $N_1$ に分けて考えます。但し、状態密度は$D(0)=0$ であるため、②は $N\to N_1$ で置き替えます。
$$N=N_0+N_1 -④$$
このとき転移温度 $T_c$ について、
- $T\ge T_c$
高温状態では、$\mu\lt0$ となり、$N_0\ll N_1$ のレベルになります。（⑤の導出）$$N_1=C(kT)^{3/2}I_{1/2}(\alpha)\le N_c -⑤$$$$N_0=\frac{1}{\alpha-1}\cong 0 -⑤$$ - $T\lt T_c$
低温状態では、$\mu=0$ となり、$T\to0$ では $N_0\cong N$ のレベルになります。（⑥の導出）$$N_1=N\Big(\frac{T}{T_c}\Big)^{3/2} -⑥$$$$N_0=N\Big[1-\Big(\frac{T}{T_c}\Big)^{3/2}\Big] -⑥$$
なお、関数 $I_s(\alpha)$ は、①で $x\equiv\epsilon/kT$ と $\alpha\equiv e^{-\mu/kT}$ と置くことにより、以下で定義されます。（⑦の導出）
$$I_s(\alpha)\equiv\int_0^\infty\frac{x^s}{\alpha e^x-1}dx\lt I_s(1) -⑦$$$$I_{1/2}(1)\cong 2.315$$
また、転移温度 $T_c$ と上限粒子数 $N_c$ は、⑤より以下で定義されます。
- 転移温度 $T_c$
粒子数が与えられた場合の下限となる温度。$$T_c(N)\equiv\frac{1}{k}\Big(\frac{N}{CI_{1/2}(1)}\Big)^{2/3} -⑧$$ - 上限粒子数 $N_c$
温度が与えられた場合の上限となる粒子数。$$N_c(T)\equiv C(kT)^{3/2}I_{1/2}(1) -⑨$$
⑤を導く
①と②より $N_0$ と $N_1$ は以下で表されます。
$$N_0=f(0)=\frac{1}{e^{-\mu/kT}-1}=\frac{1}{\alpha-1}$$$$N_1=C\int_0^\infty\frac{\sqrt{\epsilon}}{e^{(\epsilon-\mu)/kT}-1}d\epsilon$$$$=C(kT)^{3/2}\int_0^\infty\frac{x^{1/2}}{\alpha e^x-1}dx=C(kT)^{3/2}I_{1/2}(\alpha)$$
⑥を導く
$T\lt T_c$ では $\mu=0$ であるため、⑤で $\alpha=1$ とおくと、
$$N_1=C(kT)^{3/2}I_{1/2}(1)$$
これに $T_c$ の定義式⑧を代入すると、⑥の１つ目の式が得られます。
$$N_1=N\Big(\frac{T}{T_c}\Big)^{3/2}$$
また、これを④に代入すると⑥の２つ目の式が得られます。
⑦を導く
$\mu\le0$ より $\alpha=e^{-\mu/kT}\ge1$ であるから、$I_s(\alpha)$ は $\alpha$ について単調減少することが分かります。従って、⑦の関係が得られます。
$$I_s(\alpha)=\int_0^\infty\frac{x^s}{\alpha e^x-1}dx\lt\int_0^\infty\frac{x^s}{e^x-1}dx=I_s(1) -⑦$$
左辺を計算すると、
$$I_s(\alpha)=\int_0^\infty\frac{x^se^{-x}/\alpha}{1-e^{-x}/\alpha}dx=\int_0^\infty\frac{x^se^{-x}}{\alpha}\sum_{k=0}^\infty\Big(\frac{e^{-x}}{\alpha}\Big)^kdx$$
ここで $t\equiv(k+1)x$ と置くと、
$$I_s(\alpha)=\int_0^\infty\frac{t^se^{-t}}{\alpha}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{\alpha^k(k+1)^{s+1}}dt$$
ここで $\alpha=1$ とし、ガンマ関数 $\Gamma$ とゼータ関数 $\zeta$ を使うと、
$$I_s(1)=\int_0^\infty t^se^{-t}dt\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(k+1)^{s+1}}=\Gamma(s+1)\zeta(s+1)$$
さらに $s=1/2$ と置いて、ガンマ関数とゼータ関数の公式を使うと以下の値が求められます。
$$I_{1/2}(1)=\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)\zeta\Big(\frac{3}{2}\Big)\cong 2.315$$$$\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$$$\zeta\Big(\frac{3}{2}\Big)\cong 2.612$$
