ガンマ行列の定義
ガンマ行列とは、ディラック場の表記に用いられる行列で、以下の反交換関係を持ち（$\mu=0,1,2,3$）、
$$[\gamma^\mu,\gamma^\nu]_+=2g^{\mu\nu} -①$$
$$g^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & & & \\
& -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{array}\right)$$
次のエルミート性の条件を満たします。
$$\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0 -②$$
５番目の反交換行列 $\gamma^5$ は次のように定義されます。
$$\gamma^5\equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 -③$$
下付き添字のガンマ行列は以下で定義されます。
$$\gamma_\mu\equiv g_{\mu\nu}\gamma^\nu -④$$$$\gamma_5\equiv\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\sigma\gamma^\rho -⑤$$
$\epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}$ はレヴィ＝チヴィタ記号で、添え字が $(1,2,3,4)$ の偶置換であれば $+1$ 、奇置換であれば $-1$ 、２つ以上の添え字が共通であれば $0$ になります。
ガンマ行列の性質
ガンマ行列は以下のような性質を持ちます。（$i=1,2,3$）
- $(\gamma^0)^2=1$
- $(\gamma^1)^2=(\gamma^2)^2=(\gamma^3)^2=-1$
- $(\gamma^5)^2=1$
- $\gamma^\mu\gamma^\nu=-\gamma^\nu\gamma^\mu (\mu\ne\nu)$
- $\gamma^{0\dagger}=\gamma^0$
- $\gamma^{i\dagger}=-\gamma^i$
- $\gamma^{5\dagger}=\gamma^5$
- $\gamma_0=\gamma^0$
- $\gamma_i=-\gamma^i$
- $\gamma_5=\gamma^5$
- $[\gamma^\mu,\gamma^5]_+=0$
導出
［１の導出］
①より、$[\gamma^0,\gamma^0]_+=\gamma^0\gamma^0+\gamma^0\gamma^0=2(\gamma^0)^2=2g_{00}=2$
［２の導出］
①より、$[\gamma^i,\gamma^i]_+=\gamma^i\gamma^i+\gamma^i\gamma^i=2(\gamma^i)^2=2g_{ii}=-2$
［５の導出］
②と性質１より、$\gamma^{0\dagger}=\gamma^0\gamma^0\gamma^0=\gamma^0$
［６の導出］
②と性質４、１より、$\gamma^{i\dagger}=\gamma^0\gamma^i\gamma^0=-\gamma^i\gamma^0\gamma^0=-\gamma^i$
［７の導出］
②と性質１、４より、$\gamma^{5\dagger}=-i\gamma^0(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)\gamma^0=-i\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$
［８の導出］
④と①より、$\gamma_0=g_{0\nu}\gamma^\nu=g_{00}\gamma^0=\gamma^0$
［９の導出］
④と①より、$\gamma_i=g_{i\nu}\gamma^i=g_{ii}\gamma^i=-\gamma^i$
［10の導出］
⑤の右辺の項は、$(0,1,2,3)$ からの偶置換なら正符号、奇置換なら負符号であるため、元の $(0,1,2,3)$ の並びに戻すと全て正符号になるため、
$\gamma_5=\frac{i}{24}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3-\gamma^0\gamma^1\gamma^3\gamma^2-\gamma^0\gamma^2\gamma^1\gamma^3+\cdots)=\frac{i}{24}\cdot24\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\gamma^5$
［11の導出］
$\mu=1$ の場合で計算すると以下になり、$\mu=0,2,3$ の場合も同様の結果になります。
$[\gamma^1,\gamma^5]_+=i\gamma^1\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3+i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^1=-i\gamma^0\gamma^1\gamma^1\gamma^2\gamma^3+i\gamma^0\gamma^1\gamma^1\gamma^2\gamma^3=0$
縮約の公式
①より、ガンマ行列は以下の縮約の公式が成り立ちます。
- $\gamma_\mu\gamma^\mu=4$
- $\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\mu=-2\gamma^\alpha$
- $\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\mu=4g^{\alpha\beta}$
- $\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma\gamma^\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\beta\gamma^\alpha$
- $\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\mu=2(\gamma^\sigma\gamma^\beta\gamma^\alpha\gamma^\rho+\gamma^\rho\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma)$
導出
［１の導出］
④と①より、
$\gamma_\mu\gamma^\mu=g_{\mu\nu}\gamma^\nu\gamma^\mu=(\gamma^0)^2-(\gamma^1)^2-(\gamma^2)^2-(\gamma^3)^2=4$
［２の導出］
①と１より、
$\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\mu=\gamma_\mu(-\gamma^\mu\gamma^\alpha+2g^{\alpha\mu})=-4\gamma^\alpha+2\gamma^\alpha=-2\gamma^\alpha$
［３の導出］
①と２より、
$\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\mu=\gamma_\mu\gamma^\alpha(-\gamma^\mu\gamma^\beta+2g^{\beta\mu})=2\gamma^\alpha\gamma^\beta+2\gamma^\beta\gamma^\alpha=4g^{\alpha\beta}$
［４の導出］
①と３を使い、最後は $\gamma^\sigma\gamma^\beta\gamma^\alpha$ の並びになるように繰返し置換すると、
$\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma\gamma^\mu=\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta(-\gamma^\mu\gamma^\sigma+2g^{\sigma\mu})=-4g^{\alpha\beta}\gamma^\sigma+2\gamma^\sigma\gamma^\alpha\gamma^\beta=-2\gamma^\sigma\gamma^\beta\gamma^\alpha$
［５の導出］
①と４より、
$\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\mu=\gamma_\mu\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma(-\gamma^\mu\gamma^\rho+g^{\rho\mu})=2\gamma^\sigma\gamma^\beta\gamma^\alpha\gamma^\rho+2\gamma^\rho\gamma^\alpha\gamma^\beta\gamma^\sigma$
ディラック表記
ガンマ行列は、ディラック方程式が導かれる過程で導入されました。ディラック表記のガンマ行列は、以下のような４×４の行列で表されます。
$$\gamma^0\equiv\beta=\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & -I \end{array}\right)$$$$\gamma^i\equiv\beta\alpha_i=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{array}\right)$$
$$\gamma^5=i\left(\begin{array}{cc} 0 & -\sigma_1\sigma_2\sigma_3 \\ -\sigma_1\sigma_2\sigma_3 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}\right)$$
$\alpha_i$ と $\beta$ は以下で定義されます。
$$\beta=\left(\begin{array}{cc} \sigma_0 & 0 \\ 0 & -\sigma_0 \end{array}\right) , \alpha_i=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array}\right)$$$$\sigma_0=I=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) , \sigma_1=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$$$\sigma_2=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) , \sigma_3=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$
$\sigma_i$ はパウリ行列で以下の性質を持ちます（$i=1,2,3$）。
$$\sigma_0^2=\sigma_i^2=1$$$$[\sigma_i,\sigma_j]=2i\sigma_k$$$$\sigma_i\sigma_j=-\sigma_j\sigma_i=i\sigma_k$$
