グラスマン数
グラスマン数（Grassmann number）とは、量子力学や場の量子論（特にフェルミ粒子の経路積分や超対称性理論）において、フェルミ粒子が従うパウリの排他律を数学的に表現するために導入される反可換（anticommuting）な数です。
特に、物理学ではフェルミ粒子（電子やクォークなど）を数学的に表現するための道具として使われます。量子場理論（QFT）、超対称性（SUSY）、超弦理論、経路積分などで重要な役割を果たします。
基本性質
通常の数（実数や複素数）は積の順序を替えても値は変わりませんが、グラスマン数 $\theta$ は次のような特殊な代数律に従います。
- 反可換性（Anticommutativity）
異なるグラスマン数 $\theta_i, \theta_j$ の積は、順序を入れ替えると符号が反転します。$$\theta_i \theta_j + \theta_j \theta_i = \{\theta_i, \theta_j\} = 0$$ - べき零性（Nilpotency）
反可換性より、自分自身との積はゼロになります。この性質により、グラスマン数 $\theta$ の 2 乗以上の累乗はすべてゼロになります。$$\theta_i^2 = 0$$
テイラー展開
グラスマン数の性質より、グラスマン数を変数とする関数 $f(\theta)$ のテイラー展開は、高々 1 次の項までになります。
$$f(\theta) = f(0) + f'(0)\theta\tag{1}$$$$e^\theta=1+\theta\tag{2}$$
偶グラスマン数と奇グラスマン数
グラスマン数を係数とする一般的な式は以下で表されます。ここで、\(a,b,c,d\) は通常の数（実数や複素数）です。３次以上の項が現れないのは、各グラスマン数の２乗がゼロになるためです。一般に、\(N\) 個のグラスマン数を導入すると、その積は最大でも \(N\) 次になります。
$$A=a+b\theta_1+c\theta_2+d\theta_1\theta_2$$
グラスマン代数では、グラスマン数を含む項の次数によって、偶数次数と奇数次数に分類できます。偶グラスマン数は通常の数と同様に可換性を持ち、奇グラスマン数同士は反交換性を持ちます。
- 偶グラスマン数：偶数個のグラスマン数の積からなるもの$$A=a+b\theta_1\theta_2\tag{3}$$
- 奇グラスマン数：奇数個のグラスマン数の積からなるもの$$B=c\theta_1+d\theta_2\tag{4}$$
一般に、次数の偶奇を \(p(A),p(B)\in\{0,1\}\) で表すと以下の関係が成立します。この性質は次数付き可換性（graded commutativity）と呼ばれます。
$$AB=(-1)^{p(A)p(B)}BA$$
微分と積分
通常の微積分とは異なり、グラスマン数の上では微分と積分が本質的に同じ演算になります。これをベレジン積分（Berezin integration）と呼びます。
微分
グラスマン変数 \(\theta\) の微分は以下で定義されます。
$$\frac{\partial}{\partial \theta_i} \theta_j = \delta_{ij}$$
グラスマン数の性質より以下の式が得られます。
$$\frac{\partial}{\partial\theta}(a+b\theta)=b\tag{5}$$$$\frac{\partial}{\partial\theta}(\theta\eta)=\eta\tag{6}$$$$\frac{\partial}{\partial\theta}(\eta\theta)=-\frac{\partial}{\partial\theta}(\theta\eta)=-\eta\tag{7}$$
積分（ベレジン積分）
ベレジン積分は以下で定義されます。
$$\int d\theta \, 1 = 0\tag{8}$$$$\int d\theta \, \theta = 1\tag{9}$$
これより、積分則は次のようになります。
$$\int d\theta(a+b\theta)=b\tag{10}$$$$\int d\theta \, f(\theta + \eta) = \int d\theta \, f(\theta)\tag{11}$$
また、複数のグラスマン変数がある場合、積分順序を入れ替えると符号が反転します。
$$\int d\bar{\theta} \, d\theta \, (\bar{\theta} \theta)=1\tag{12}$$$$\int d\bar{\theta} \, d\theta \, (\theta \bar{\theta})=-1\tag{13}$$
フェルミオンのガウス積分
フェルミオンの量子力学および場の量子論における経路積分では、パウリの排他律反映させるため、グラスマン数を用いた積分（ベレジン積分）が不可欠になります。
１組のグラスマン変数
定数 $A$ と独立なグラスマン変数 $\psi, \bar{\psi}$ を考えます。被積分関数である指数関数 $e^{-\bar{\psi} A \psi}$ を (2) のテイラー展開します。
$$e^{-\bar{\psi}A \psi}=1-\bar{\psi}A\psi\tag{14}$$
ベレジン積分を行うと (10) と (12) より、
$$\int d\bar{\psi} \, d\psi \, e^{-\bar{\psi} A \psi} = \int d\bar{\psi} \, d\psi \, (1-A \bar{\psi} \psi)$$$$=-A \int d\bar{\psi} \, d\psi \, \bar{\psi}\psi = -A\tag{15}$$
２組のグラスマン変数
２のグラスマン変数と \(2\times2\) 行列を考えます。
$$\psi=\begin{pmatrix}
\psi_1\\
\psi_2\end{pmatrix}\quad ,\quad\bar{\psi}=\begin{pmatrix}
\bar{\psi}_1&\bar{\psi}_2\end{pmatrix}$$$$A=\begin{pmatrix}
a&b\\c&d\end{pmatrix}$$
ベレジン積分を計算すると、
$$I=\int d\bar{\psi}_2\,d\psi_2\,
d\bar{\psi}_1\,d\psi_1\,
e^{-\bar{\psi}A\psi}$$$$\bar{\psi}A\psi=a\bar{\psi}_1\psi_1+b\bar{\psi}_1\psi_2+c\bar{\psi}_2\psi_1+d\bar{\psi}_2\psi_2\tag{16}$$
グラスマン変数は４個あるため、4次を超える項はすべてゼロになるため、
$$e^{-\bar{\psi}A\psi}=1-\bar{\psi}A\psi+\frac{1}{2}(\bar{\psi}A\psi)^2\tag{17}$$
４つのグラスマン変数をすべて含む項だけが積分によって残るため、ベレジン積分は以下になります。
$$I=\frac{1}{2}\int d\bar{\psi}_2\,d\psi_2\,d\bar{\psi}_1\,d\psi_1\,
(\bar{\psi}A\psi)^2=\det A\tag{18}$$
(18) の導出
計算を簡単にするため、
$$X=\bar{\psi}_1\psi_1,\quad Y=\bar{\psi}_1\psi_2,\quad Z=\bar{\psi}_2\psi_1,\quad W=\bar{\psi}_2\psi_2$$
と置くと (16) は以下になり、
$$\bar{\psi}A\psi=aX+bY+cZ+dW$$
グラスマン数の反交換性を使うと、
$X^2=Y^2=Z^2=W^2=0$
$XY=XZ=YW=ZW=0$
$XW=WX\quad,\quad YZ=ZY$
$XW=\bar{\psi}_1\psi_1\bar{\psi}_2\psi_2=-\bar{\psi}_1\psi_2
\bar{\psi}_2\psi_1=-YZ$
これを使って2乗を展開すると、
$$(\bar{\psi}A\psi)^2=2adXW+2bcYZ=2(bc-ad)YZ$$
したがって、
$$I=(bc-ad)\int d\bar{\psi}_2\,d\psi_2\,d\bar{\psi}_1\,d\psi_1(\bar{\psi}_1\bar{\psi}_2\psi_1\psi_2)$$
(12) と (13) を使うと以下が得られます。２組のグラスマン変数によるガウス積分は、行列 \(A\) の行列式になります。
$$I=ad-bc=\det A$$
Ｎ組のグラスマン変数
ここまでの結果を \(N\) 組のグラスマン変数に一般化すると以下になります。
$$I=\int \prod_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d\psi_i\,e^{-\bar{\psi}A\psi}= (-1)^N\det A\tag{19}$$$$e^{-\bar{\psi}A\psi}=\exp{\Big(-\sum_{i,j=1}^{N}\bar{\psi}_i A_{ij}\psi_j\Big)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}(\bar{\psi}A\psi)^k\tag{20}$$
ここで行列式は以下で定義されます。
$$\det A=\sum_{\sigma\in S_N}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{N}A_{i,\sigma(i)}\tag{21}$$
-
-
- \(S_N\)：\(N\) 個の要素の置換全体
- \(\sigma\)：置換
- \(\operatorname{sgn}(\sigma)\)：置換の符号
-
(19) の導出
グラスマン積分の定義から、すべてのグラスマン変数を１回ずつ含む項だけが積分によって残ることです。したがって、\(N\) 次の項だけを取り出せばよいので、(19) の左辺は、
$$I=\frac{(-1)^N}{N!}\int d\bar{\psi}_N\,d\psi_N\cdots d\bar{\psi}_1\,d\psi_1(\bar{\psi}A\psi)^N\tag{22}$$
\(N\) 次の項を展開すると、
$$(\bar{\psi}A\psi)^N=\sum_{\substack{i_1,\ldots,i_N,j_1,\ldots,j_N}}
(\bar{\psi}_{i_1}A_{i_1j_1}\psi_{j_1})\cdots(\bar{\psi}_{i_N}A_{i_Nj_N}\psi_{j_N})$$
グラスマン変数の反交換性を使って、すべての \(\bar{\psi}\) を左側に、すべての \(\psi\) を右側に移動させます。各項について、\(\psi\) を \(\bar{\psi}\) の前に移動する操作が \(N(N-1)/2\) 回必要なので、
$$(\bar{\psi}A\psi)^N=(-1)^{N(N-1)/2}\sum_{\substack{i_1,\ldots,i_N,j_1,\ldots,j_N}}\bar{\psi}_{i_1}\cdots\bar{\psi}_{i_N}A_{i_1j_1}\cdots A_{i_Nj_N}\psi_{j_1}\cdots\psi_{j_N}$$
グラスマン変数は反交換性を持つため、同じ変数を２回含む項はゼロになります。したがって、積分に寄与するのは、$(i_1,\ldots,i_N)$ が \(1,\ldots,N\) の置換になっている場合と、$(j_1,\ldots,j_N)$ が \(1,\ldots,N\) の置換になっている場合だけです。置換を \(\sigma,\tau\in S_N\) とすると、
$$i_k=\sigma(k)\quad,\quad j_k=\tau(k)$$
ここで、置換の符号を \(\operatorname{sgn}(\sigma)\) と表します。グラスマン変数を標準的な順序に並べ直すと、
$\bar{\psi}_{i_1}\cdots\bar{\psi}_{i_N}=\operatorname{sgn}(\sigma)\bar{\psi}_1\cdots\bar{\psi}_N$
$\psi_{j_1}\cdots\psi_{j_N}=\operatorname{sgn}(\tau)\psi_1\cdots\psi_N$
したがって、
$$(\bar{\psi}A\psi)^N=(-1)^{N(N-1)/2}\bar{\psi}_1\cdots\bar{\psi}_N\psi_1\cdots\psi_N$$$$\times\sum_{\sigma,\tau\in S_N}\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{k=1}^{N}A_{\sigma(k),\tau(k)}$$
ここで、$\sigma(k)\to\tau(k)$ の写像を $\pi=\tau\circ\sigma^{-1}$ とすると、
$$\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)=\operatorname{sgn}(\pi)$$$$\prod_{k=1}^{N}A_{\sigma(k),\tau(k)}=\prod_{i=1}^{N}A_{i,\pi(i)}$$
また、各 \(\pi\) に対して \(\sigma\) は \(N!\) 通りあるので、
$$(\bar{\psi}A\psi)^N=(-1)^{N(N-1)/2}N!\,\bar{\psi}_1\cdots\bar{\psi}_N\psi_1\cdots\psi_N$$$$\times\sum_{\pi\in S_N}\operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^{N}A_{i,\pi(i)}$$
この最後の和は、(21) の行列式の定義です。したがって、
$$(\bar{\psi}A\psi)^N=(-1)^{N(N-1)/2}N!\det A\,\bar{\psi}_1\cdots\bar{\psi}_N\psi_1\cdots\psi_N$$
これを (22) に代入すると、
$$I=\frac{(-1)^N}{N!}\int d\bar{\psi}_N\,d\psi_N\cdots d\bar{\psi}_1\,d\psi_1$$$$\times(-1)^{N(N-1)/2}N!\det A\,\bar{\psi}_1\cdots\bar{\psi}_N\psi_1\cdots\psi_N\tag{21}$$
この積分についてはベレジン積分の性質 (9) より、
$$\int d\bar{\psi}_N\,d\psi_N\cdots d\bar{\psi}_1\,d\psi_1\,\bar{\psi}_1\cdots\bar{\psi}_N
\psi_1\cdots\psi_N=(-1)^{N(N-1)/2}$$
これを (21) に代入すると (19) が得られます。
$$I=(-1)^{N^2}\det A=(-1)^N\det A$$
