式と数(数学Ⅰ)
指数法則
$m$、$n$ を正の整数とすると、以下の関係が成り立ちます。
- $a^ma^n=a^{m+n}$
- $(a^m)^n=a^{m+n}$
- $(ab)^n=a^nb^n$
展開式と因数分解
展開式と因数分解は以下になります。
- $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
- $(x+a)(x+b)=x^2+2(a+b)x+ab$
- $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
- $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
- $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
絶対値
絶対値の性質は以下になります。
- $|a|\ge0$ で、$|a|=0$ となるのは $a=0$ のときに限る。
- $a\ge0$ のとき、$|a|=a$
- $a\lt0$ のとき、$|a|=-a$
- $|-a|=|a|$ 、$|a|^2=a^2$ 、$|ab|=|a||b|$
- $|a/b|=|a|/|b|$ 、但し $b\ne0$
平方根
平方根の性質は以下になります。
- $a\ge0$ のとき、$\sqrt{a^2}=|a|$ 、$\sqrt{a}\ge0$
- $a,b\gt0$ のとき、$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 、$\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$
- $a,k\gt0$ のとき、$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$
2重根号は、2乗の形を作って外側の根号を外します。
- $\sqrt{p\pm k\sqrt{q}}$ は $\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}$ に変形して、
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 、但し $a\gt b$
不等式
不等式の性質は以下になります。
- $a\lt b$ ならば、$a\pm c\lt b\pm c$
- $a\lt b$ 、$c\gt0$ ならば、$ac\lt bc$ 、$a/c\lt b/c$
- $a\lt b$ 、$c\lt0$ ならば、$ac\gt bc$ 、$a/c\gt b/c$
不等式の解は、$a\gt0$ の場合、以下で表されます。
- $|x|=a$ の解は、$x=\pm a$
- $|x|\lt a$ の解は、$-a\lt x\lt a$
- $|x|\gt a$ の解は、$x\lt-a$ 、$a\lt x$
2次関数(数学Ⅰ)
2次関数のグラフ
2次関数のグラフは以下になります。
- $y=a(x-p)^2+q$($a\ne0$)のグラフ
頂点が($p$ 、$q$)で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。 - $y=ax^2+bx+c$($a\ne0$)のグラフ
頂点が以下で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。
$$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$\mbox{頂点:}\Big(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$$
与えられた条件により、2次関数は以下のように求められます。
- 頂点($p,q$)が与えられた場合、
⇒ $y=a(x-p)^2+q$ とおく。 - 3点が与えられた場合、
⇒ $y=ax^2+bx+c$ に代入して3つの連立方程式を解く。
平行移動と対称移動
関数の平行移動と対称移動は以下のように変換されます。
元の点/関数 | 点($a,b$) | 関数 $y=f(x)$ |
($p,q$)の平行移動 | ($a+p,b+q$) | $y=f(x-p)+q$ |
$x$ 軸の対称移動 | ($a,-b$) | $y=-f(x)$ |
$y$ 軸の対称移動 | ($-a,b$) | $y=f(-x)$ |
原点の対称移動 | ($-a,-b$) | $y=-f(-x)$ |
関数の最大と最小
区間が定められていない2次関数($y=ax^2+bx+c$)の場合は、平方完成しての形 $y=a(x-p)^2+q$ にします。
- $a\gt0$(下に凸)のとき、$x=p$ で最小値は $q$ 、最大値はない。
- $a\lt0$ (上に凸)のとき、$x=p$ で最大値は $q$ 、最小値はない。
区間($h\le x\le k$)が定められている場合の関数($y=ax^2+bx+c$)の場合、
- $a\gt0$(下に凸)のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最小、頂点から遠い区間の端で最大。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最小、遠い端で最大。 - $a\lt0$(上に凸)のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最大、頂点から遠い区間の端で最小。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最大、遠い端で最小。
解の公式
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は以下になります。
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
この2つの解を $\alpha,\beta$ とすると、
$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a} , \alpha\beta=\frac{c}{a}$$
判別式
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、
- $D\gt0$ ならば、異なる2つの実数解をもつ。
- $D=0$ ならば、ただ1つの実数解(重根)をもつ。
- $D\lt0$ ならば、実数解をもたない。
2次関数 $y=ax^2+bx+c$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、
- $D\gt0$ ならば、$x$ 軸と異なる2点で交わる。
- $D=0$ ならば、$x$ 軸と1点で接する。
- $D\lt0$ ならば、$x$ 軸と共有点をもたない。
2次不等式
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$($a\gt0$)が2つの解 $\alpha,\beta$($\alpha\lt\beta$)、または重根 $\alpha$ を持つ場合、判別式 $D$ と解の関係は以下になります。
2次不等式 | $D\gt0$ | $D=0$ | $D\lt0$ |
$ax^2+bx+c\gt0$ | $x\lt\alpha$ 、$\beta\lt x$ | なし | 全ての実数 |
$ax^2+bx+c\lt0$ | $\alpha\lt x\lt\beta$ | なし | なし |
$ax^2+bx+c\ge0$ | $x\le\alpha$ 、$\beta\le x$ | $x=\alpha$ | 全ての実数 |
$ax^2+bx+c\le0$ | $\alpha\le x\le\beta$ | $x=\alpha$ | なし |
2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$($a\gt0$ 、$D\gt0$)の場合、点 $k$ との関係は以下になります。
- $k\lt\alpha$ ならば、$f(k)\gt0$
- $\alpha\lt k\lt\beta$ ならば、$f(k)\lt0$
- $\beta\lt k$ ならば、$f(k)\gt0$

