【高校数学】数と式・2次関数

/高校数学

式と数(数学Ⅰ)

指数法則

$m$、$n$ を正の整数とすると、以下の関係が成り立ちます。

  • $a^ma^n=a^{m+n}$
  • $(a^m)^n=a^{m+n}$
  • $(ab)^n=a^nb^n$

展開式と因数分解

展開式と因数分解は以下になります。

  • $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
  • $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
  • $(x+a)(x+b)=x^2+2(a+b)x+ab$
  • $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
  • $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
  • $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$

絶対値

絶対値の性質は以下になります。

  • $|a|\ge0$ で、$|a|=0$ となるのは $a=0$ のときに限る。
  • $a\ge0$ のとき、$|a|=a$
  • $a\lt0$ のとき、$|a|=-a$
  • $|-a|=|a|$ 、$|a|^2=a^2$ 、$|ab|=|a||b|$
  • $|a/b|=|a|/|b|$ 、但し $b\ne0$

平方根

平方根の性質は以下になります。

  • $a\ge0$ のとき、$\sqrt{a^2}=|a|$ 、$\sqrt{a}\ge0$
  • $a,b\gt0$ のとき、$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 、$\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$
  • $a,k\gt0$ のとき、$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$

2重根号は、2乗の形を作って外側の根号を外します。

  • $\sqrt{p\pm k\sqrt{q}}$ は $\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}$ に変形して、
    $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
    $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 、但し $a\gt b$

不等式

不等式の性質は以下になります。

  • $a\lt b$ ならば、$a\pm c\lt b\pm c$
  • $a\lt b$ 、$c\gt0$ ならば、$ac\lt bc$ 、$a/c\lt b/c$
  • $a\lt b$ 、$c\lt0$ ならば、$ac\gt bc$ 、$a/c\gt b/c$

不等式の解は、$a\gt0$ の場合、以下で表されます。

  • $|x|=a$ の解は、$x=\pm a$
  • $|x|\lt a$ の解は、$-a\lt x\lt a$
  • $|x|\gt a$ の解は、$x\lt-a$ 、$a\lt x$

2次関数(数学Ⅰ)

2次関数のグラフ

2次関数のグラフは以下になります。

  • $y=a(x-p)^2+q$($a\ne0$)のグラフ
    頂点が($p$ 、$q$)で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。
  • $y=ax^2+bx+c$($a\ne0$)のグラフ
    頂点が以下で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。

$$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$\mbox{頂点:}\Big(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$$

与えられた条件により、2次関数は以下のように求められます。

  • 頂点($p,q$)が与えられた場合、
    ⇒ $y=a(x-p)^2+q$ とおく。
  • 3点が与えられた場合、
    ⇒ $y=ax^2+bx+c$ に代入して3つの連立方程式を解く。

平行移動と対称移動

関数の平行移動と対称移動は以下のように変換されます。

元の点/関数 点($a,b$) 関数 $y=f(x)$
($p,q$)の平行移動 ($a+p,b+q$) $y=f(x-p)+q$
$x$ 軸の対称移動 ($a,-b$) $y=-f(x)$
$y$ 軸の対称移動 ($-a,b$) $y=f(-x)$
原点の対称移動 ($-a,-b$) $y=-f(-x)$

関数の最大と最小

区間が定められていない2次関数($y=ax^2+bx+c$)の場合は、平方完成しての形 $y=a(x-p)^2+q$ にします。

  • $a\gt0$(下に凸)のとき、$x=p$ で最小値は $q$ 、最大値はない。
  • $a\lt0$ (上に凸)のとき、$x=p$ で最大値は $q$ 、最小値はない。

区間($h\le x\le k$)が定められている場合の関数($y=ax^2+bx+c$)の場合、

  • $a\gt0$(下に凸)のとき、
    区間内に頂点がある場合、頂点で最小、頂点から遠い区間の端で最大。
    区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最小、遠い端で最大。
  • $a\lt0$(上に凸)のとき、
    区間内に頂点がある場合、頂点で最大、頂点から遠い区間の端で最小。
    区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最大、遠い端で最小。

解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は以下になります。

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この2つの解を $\alpha,\beta$ とすると、

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}  ,  \alpha\beta=\frac{c}{a}$$

判別式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

  • $D\gt0$ ならば、異なる2つの実数解をもつ。
  • $D=0$ ならば、ただ1つの実数解(重根)をもつ。
  • $D\lt0$ ならば、実数解をもたない。

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

  • $D\gt0$ ならば、$x$ 軸と異なる2点で交わる。
  • $D=0$ ならば、$x$ 軸と1点で接する。
  • $D\lt0$ ならば、$x$ 軸と共有点をもたない。

2次不等式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$($a\gt0$)が2つの解 $\alpha,\beta$($\alpha\lt\beta$)、または重根 $\alpha$ を持つ場合、判別式 $D$ と解の関係は以下になります。

2次不等式 $D\gt0$ $D=0$ $D\lt0$
$ax^2+bx+c\gt0$ $x\lt\alpha$ 、$\beta\lt x$ なし 全ての実数
$ax^2+bx+c\lt0$ $\alpha\lt x\lt\beta$ なし なし
$ax^2+bx+c\ge0$ $x\le\alpha$ 、$\beta\le x$ $x=\alpha$ 全ての実数
$ax^2+bx+c\le0$ $\alpha\le x\le\beta$ $x=\alpha$ なし

2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$($a\gt0$ 、$D\gt0$)の場合、点 $k$ との関係は以下になります。

  • $k\lt\alpha$ ならば、$f(k)\gt0$
  • $\alpha\lt k\lt\beta$ ならば、$f(k)\lt0$
  • $\beta\lt k$ ならば、$f(k)\gt0$

 

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