【高校数学】数と式・２次関数

式と数（数学Ⅰ）
２次関数（数学Ⅰ）

式と数（数学Ⅰ）

指数法則

$m$、$n$ を正の整数とすると、以下の関係が成り立ちます。

$a^ma^n=a^{m+n}$
$(a^m)^n=a^{m+n}$
$(ab)^n=a^nb^n$

展開式と因数分解

展開式と因数分解は以下になります。

$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)=x^2+2(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$

絶対値

絶対値の性質は以下になります。

$|a|\ge0$ で、$|a|=0$ となるのは $a=0$ のときに限る。
$a\ge0$ のとき、$|a|=a$
$a\lt0$ のとき、$|a|=-a$
$|-a|=|a|$ 、$|a|^2=a^2$ 、$|ab|=|a||b|$
$|a/b|=|a|/|b|$ 、但し $b\ne0$

平方根

平方根の性質は以下になります。

$a\ge0$ のとき、$\sqrt{a^2}=|a|$ 、$\sqrt{a}\ge0$
$a,b\gt0$ のとき、$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 、$\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$
$a,k\gt0$ のとき、$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$

2重根号は、２乗の形を作って外側の根号を外します。

$\sqrt{p\pm k\sqrt{q}}$ は $\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}$ に変形して、
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 、但し $a\gt b$

不等式

不等式の性質は以下になります。

$a\lt b$ ならば、$a\pm c\lt b\pm c$
$a\lt b$ 、$c\gt0$ ならば、$ac\lt bc$ 、$a/c\lt b/c$
$a\lt b$ 、$c\lt0$ ならば、$ac\gt bc$ 、$a/c\gt b/c$

不等式の解は、$a\gt0$ の場合、以下で表されます。

$|x|=a$ の解は、$x=\pm a$
$|x|\lt a$ の解は、$-a\lt x\lt a$
$|x|\gt a$ の解は、$x\lt-a$ 、$a\lt x$

２次関数（数学Ⅰ）

２次関数のグラフ

２次関数のグラフは以下になります。

$y=a(x-p)^2+q$（$a\ne0$）のグラフ
頂点が（$p$ 、$q$）で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。
$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）のグラフ
頂点が以下で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。

$$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$\mbox{頂点：}\Big(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$$

与えられた条件により、２次関数は以下のように求められます。

頂点（$p,q$）が与えられた場合、
⇒ $y=a(x-p)^2+q$ とおく。
３点が与えられた場合、
⇒ $y=ax^2+bx+c$ に代入して３つの連立方程式を解く。

平行移動と対称移動

関数の平行移動と対称移動は以下のように変換されます。

元の点/関数	点（$a,b$）	関数 $y=f(x)$
（$p,q$）の平行移動	（$a+p,b+q$）	$y=f(x-p)+q$
$x$ 軸の対称移動	（$a,-b$）	$y=-f(x)$
$y$ 軸の対称移動	（$-a,b$）	$y=f(-x)$
原点の対称移動	（$-a,-b$）	$y=-f(-x)$

関数の最大と最小

区間が定められていない２次関数（$y=ax^2+bx+c$）の場合は、平方完成しての形 $y=a(x-p)^2+q$ にします。

$a\gt0$（下に凸）のとき、$x=p$ で最小値は $q$ 、最大値はない。
$a\lt0$ （上に凸）のとき、$x=p$ で最大値は $q$ 、最小値はない。

区間（$h\le x\le k$）が定められている場合の関数（$y=ax^2+bx+c$）の場合、

$a\gt0$（下に凸）のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最小、頂点から遠い区間の端で最大。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最小、遠い端で最大。
$a\lt0$（上に凸）のとき、
区間内に頂点がある場合、頂点で最大、頂点から遠い区間の端で最小。
区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最大、遠い端で最小。

解の公式

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は以下になります。

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この２つの解を $\alpha,\beta$ とすると、

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}　　,　　\alpha\beta=\frac{c}{a}$$

判別式

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

$D\gt0$ ならば、異なる２つの実数解をもつ。
$D=0$ ならば、ただ１つの実数解（重根）をもつ。
$D\lt0$ ならば、実数解をもたない。

２次関数 $y=ax^2+bx+c$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

$D\gt0$ ならば、$x$ 軸と異なる２点で交わる。
$D=0$ ならば、$x$ 軸と１点で接する。
$D\lt0$ ならば、$x$ 軸と共有点をもたない。

２次不等式

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$（$a\gt0$）が２つの解 $\alpha,\beta$（$\alpha\lt\beta$）、または重根 $\alpha$ を持つ場合、判別式 $D$ と解の関係は以下になります。

２次不等式	$D\gt0$	$D=0$	$D\lt0$
$ax^2+bx+c\gt0$	$x\lt\alpha$ 、$\beta\lt x$	なし	全ての実数
$ax^2+bx+c\lt0$	$\alpha\lt x\lt\beta$	なし	なし
$ax^2+bx+c\ge0$	$x\le\alpha$ 、$\beta\le x$	$x=\alpha$	全ての実数
$ax^2+bx+c\le0$	$\alpha\le x\le\beta$	$x=\alpha$	なし