極座標とは

/物理数学

球座標

球座標は変数($r,\theta,\phi$)で表されます。尚、$\theta$ は $z$ 軸からの角度($0\sim\pi$)、$\phi$ は $z$ 軸回り($0\sim2\pi$)に取ります。座標変換は以下で表されるため、

$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$$$$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$$$$z=r\cos{\theta}$$

直交曲線座標の計量は以下で定義されているため、

$$h_j^2=\sum_i\Big(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\Big)^2  -①$$

球座標での計量は以下になります。

$$h_1^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial r}\Big)^2=1$$$$h_2^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial\theta}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial\theta}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial\theta}\Big)^2=r^2$$$$h_3^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial\phi}\Big)^2=r^2\sin^2{\theta}$$$$(h_1,h_2,h_3)=(1,r,r\sin{\theta})$$

微小体積

極座標の微小体積は以下で表されます。

$$dxdydz=r^2\sin{\theta}drd\phi d\phi$$

勾配($\mathrm{grad}$)

極座標の勾配は以下で表されます。

$$\mathrm{grad}f=\Big(\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta},\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial f}{\partial\phi}\Big)$$

分散($\mathrm{div}$)

極座標の分散は以下で表されます。

$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\Big(\sin{\theta}\frac{\partial(r^2A_1)}{\partial r}+r\frac{\partial(\sin{\theta}A_2)}{\partial\theta}+r\frac{\partial A_3}{\partial\phi}\Big)$$

回転($\mathrm{rot}$)

極座標の回転は以下で表されます。

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_r=\frac{1}{r\sin{\theta}}\Big(\frac{\partial(\sin{\theta}A_3)}{\partial\theta}-\frac{\partial A_2}{\partial\phi}\Big)$$

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_\theta=\frac{1}{r\sin{\theta}}\Big(\frac{\partial A_1}{\partial\phi}-\sin{\theta}\frac{\partial(rA_3)}{\partial r}\Big)$$

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_\phi=\frac{1}{r}\Big(\frac{\partial(rA_2)}{\partial r}-\frac{\partial A_1}{\partial\theta}\Big)$$

ラプラシアン($\Delta$)

極座標のラプラシアン($\Delta\equiv\mathrm{div}\cdot\mathrm{grad}$)は以下で表されます。

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Big[\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\Big]$$

円筒座標

円筒座標は変数($r,\phi,z$)で表されます。尚、$\phi$ は $z$ 軸回り($0\sim2\pi$)に取ります。座標変換は以下で表されるため、

$$x=r\cos{\phi}$$$$y=r\sin{\phi}$$$$z=z$$

直交曲線座標の計量の定義①より、円筒座標での計量は以下になります。

$$h_1^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial r}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial r}\Big)^2=1$$$$h_2^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial\phi}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial\phi}\Big)^2=r^2$$$$h_3^2=\Big(\frac{\partial x}{\partial z}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial z}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial z}\Big)^2=1$$$$(h_1,h_2,h_3)=(1,r,1)$$

微小体積

円筒座標の微小体積は以下で表されます。

$$dxdydz=rdrd\theta dz$$

勾配($\mathrm{grad}$)

円筒座標の勾配は以下で表されます。

$$\mathrm{grad}f=\Big(\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\phi},\frac{\partial f}{\partial z}\Big)$$

分散($\mathrm{div}$)

円筒座標の分散は以下で表されます。

$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_1)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_2}{\partial\phi}+\frac{\partial A_3}{\partial z}$$

回転($\mathrm{rot}$)

円筒座標の回転は以下で表されます。

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_r=\frac{1}{r}\frac{\partial A_3}{\partial\phi}-\frac{\partial A_2}{\partial z}$$

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_\phi=\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial r}$$

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_z=\frac{1}{r}\Big(\frac{\partial(rA_2)}{\partial r}-\frac{\partial A_1}{\partial\phi}\Big)$$

ラプラシアン($\Delta$)

円筒座標のラプラシアン($\Delta\equiv\mathrm{div}\cdot\mathrm{grad}$)は以下で表されます。

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

 

直交曲線座標とは
座標変換の不変量、計量の定義、直交条件、微小体積、ベクトルの微分、勾配、分散、回転、ラプラシアン
数学
解析学、代数学、幾何学、統計分析、数学基礎、高校数学
散策路TOP
古典物理、量子力学、物性論、数学、応用数学、力学、電磁気学、相対論、熱・統計力学、解析学、代数学、幾何学、統計分析、情報

 

タイトルとURLをコピーしました