数学

2021.04.13

理数の散策路
数学

解析学

コーシー・リーマンの関係式とは
複素関数が正則であるための条件、正則関数、コーシー・リーマンの関係式を導く
テイラー展開とは
関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和、マクローリン展開、初等関数の級数展開
初等関数の微分公式
微分の定義、べき関数の微分、指数関数の微分、対数関数の微分、三角関数の微分、双曲線関数の微分
共変微分とは
曲線座標においてテンソルとなる微分、テンソルの条件、反変微分はテンソルではない、共変微分はテンソルである
指数関数の積分公式
底がネイピア数である指数関数を積分すると円周率が現れるカラクリ

代数学

固有値問題とは
あるベクトルの線形変換が元のベクトルのスカラー倍になるための条件、固有値、固有ベクトル、固有方程式、行列の対角化
フェルマーの小定理とは
素数の性質についての定理、実用面でもRSA暗号に応用、フェルマーの小定理を導く、フェルマーの小定理の対偶
環論とは
加法と乗法の二項演算を備えた代数系、整数と似た性質を持つ、有理整数環、イデアル、剰余環
群論とは
二項演算、単位元、逆元、結合法則、半群、可換群、部分群、置換群、巡回群、直積群、直交群、ユニタリ群、特殊ユニタリ群
中国の剰余定理とは
整数の剰余に関する定理、中国の算術書「孫子算経」に由来、ユークリッド互除法

幾何学

ストークスの定理とは
ベクトル解析の基本公式、ベクトル場の任意の曲面の周回積分がベクトル場の回転の面積分に一致
反変ベクトルと共変ベクトル
反変ベクトル、共変ベクトル、基底ベクトル、スカラー積、計量、テンソル、座標変換
ガウスの発散定理とは
ガウスの定理、ベクトル場の閉曲面上の面積分、ベクトル場の発散の体積積分、ベクトル解析
リッチテンソルとは
歪んだ空間の球体と平らな空間の球体との差を表す量、リーマン曲率テンソルの縮約、対称性、スカラー曲率、ビアンキの関係式
リーマン曲率テンソルとは
空間の曲率を表すテンソル、平らな空間の場合は０、共変微分、リーマン曲率テンソルの導出、対称性

統計分析

期待値と分散
ある確率変数に確率分布の重みをつけて足し合わせた加重平均、期待値、分散、共分散、相関係数
統計量とは
未知である母集団の特徴を推測、母集団から抽出されたデータから計算、平均、平方和、分散、標準偏差、共分散、相関係数
正規分布を導く
平均値を中心としたデータのバラつきを表す分布、ガウス分布、誤差分布、正規分布の標準化、標準偏差、標準分布の特徴
相関分析とは
２つのデータ群の関係性の強さを評価する分析手法、相関係数、母相関係数、ｒ分布、ｔ分布、相関分析の手順、検定と推定
分散分析とは
データ集合の間の差異が誤差範囲かどうかを判定、データ構造式、総平方和、グループ間平方和、誤差平方和、分散、統計検定量

数学基礎

初等関数の公式
初等関数の定義と関係式、指数関数、対数関数、三角関数、双曲線関数、加法定理、オイラーの公式
述語論理とは
「任意の」と「適当な」という変数の範囲を表す語により推論を行う、公理系、ド・モルガンの法則
命題論理とは
命題・論理式、論理記号、含意・否定・同値・論理和・論理積、公理系、推論規則、背理法、ド・モルガンの法則
チャーチ・チューリングの定立
計算可能な関数とチューリングマシンで計算できる関数は同じ、帰納的関数、計算システムの等価性
チューリングマシンとは
計算を行うための基本的な機能が定義された仮想的な装置、制御部（ヘッド）、記憶部（テープ）、万能チューリングマシン

高校数学

【高校数学】微分と積分・統計
微分と積分、導関数、接線の方程式、不定積分、定積分、曲面間の面積、確率分布、期待値と分散、二項分布、正規分布、標本平均
【高校数学】数列・ベクトル
等差数列、等比数列、階差数列、数学的帰納法、ベクトル、内積、位置ベクトル、三角形の面積、ベクトル方程式
【高校数学】三角関数・指数と対数
三角関数、弧度法、三角関数の性質、加法定理、三角関数の合成、指数関数、対数関数、指数法則、累乗根、対数の性質
【高校数学】方程式と証明・図形
２項定理、剰余定理と因数定理、高次方程式、恒等式と不等式、直線の方程式、距離と面積、円の方程式、不等式の領域
【高校数学】データ分析・確率
データの分析、代表値、分散と標準偏差、相関関係、場合の数と確率、個数定理、和の法則と積の法則、順列、組合せ、確率

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2021.03.24

 

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