量子位相推定
量子位相推定（Quantum Phase Estimation, QPE）とは、特定のユニタリ演算子 $U$ とその固有状態 $\vert{}\psi\rangle$ に対し、固有値に含まれる位相情報 $\theta$（固有位相）を高精度に効率よく読み出すアルゴリズムです。
数学的定義ユニタリ演算子 $U$ の固有状態を $\vert{}\psi\rangle$ としたとき、固有値は常に絶対値 1 の複素数になるため、以下のように表せます。
$$U\ket{\phi}=e^{2\pi i\theta}\ket{\phi} -①$$
量子位相推定は、ユニタリ演算子 $U$ の固有関数 $\ket{\phi}$ と固有値 $e^{2\pi i\theta}$ の位相 $\theta$（$0\le\theta\lt 1$）を求める問題です。$\theta$ を２進法で表すと、$\theta=0.\theta_1\theta_2\theta_3\cdots_2$ と表すことができますが、$n$ 量子ビットを用いると、最初の $n$ ビットを推定することができます。
量子フーリエ変換は、状態ベクトル $\ket{j}$ を以下のように変換するため、
$$\mathrm{QFT}\ket{j}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}e^{2\pi ikj/2^n}\ket{k}$$
逆量子フーリエ変換は以下のように表されます。
$$\mathrm{QFT}^{-1}\ket{k}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{j=0}^{2^n-1}e^{-2\pi ikj/2^n}\ket{j}$$
量子回路の出力 $j$ の測定結果に逆量子フーリエ変換を施すことにより、①の固有位相を求めることができます。
$$\tilde{\theta}=\frac{j}{2^n}$$
量子回路
量子位相推定を解くための量子回路は以下になります。
尚、［$H$］はアダマールゲート、［$U$］は制御ユニタリゲートで、［$U^k$］は制御ユニタリゲートを $k$ 回作用させることを表します。［$\mathrm{QFT}^{-1}$］は逆量子フーリエ変換です。
回路の上半分は $n$ ビットの制御ビットで、初期値は全て $\ket{0}$ です。この回路の入力状態は以下で表されます。
$$\Psi_0=\ket{0}\otimes\ket{0}\otimes\cdots\otimes\ket{0}\otimes\ket{\phi}$$
アダマールゲート
アダマールゲートを作用させると、
$$\Psi_1=\frac{1}{\sqrt{2^n}}(\ket{0}+\ket{1})\otimes(\ket{0}+\ket{1})\otimes\cdots\otimes(\ket{0}+\ket{1})\otimes\ket{\phi} -②$$
計算基底を整数 \(k\) で表す
②の計算基底を整数 \(k\) で表すと、
$$\Psi_1=\frac{1}{\sqrt{2^n}}(\ket{0\cdots00}+\ket{0\cdots01}+\cdots+\ket{1\cdots11})\otimes\ket{\phi}$$$$=\frac{1}{\sqrt{2^n}}(\ket{0}+\ket{1}+\cdots+\ket{2^n-1})\otimes\ket{\phi}$$$$=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}\ket{k}\otimes\ket{\phi} -③$$
制御ユニタリゲート
ユニタリ演算子を $k$ 回作用させると①より、
$$U^k|\phi\rangle = e^{2\pi ik\theta}|\phi\rangle$$
③より、$\Psi_2$ を計算すると、
$$\Psi_2=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}\ket{k}\otimes(U^k\ket{\phi})$$$$=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}e^{2\pi ik\theta}\ket{k}\otimes\ket{\phi}$$
$2^n\theta=j_1j_2\cdots j_n=j$ と置くと、
$$\Psi_2=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{k=0}^{2^n-1}e^{2\pi ikj/2^n}\ket{k}\otimes\ket{\phi} -④$$
これは量子フーリエ変換になります。
$$ |J\rangle \mapsto \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{k=0}^{2^n-1} e^{2\pi i kj/2^n}|k\rangle $$
逆量子フーリエ変換
④に逆量子フーリエ変換を作用させると、量子フーリエ変換の入力である $j$ を得ることができます。
$$\Psi_3=\mathrm{QFT}^{-1}|\Psi_2\rangle =\ket{j_1j_2\cdots j_n}\otimes\ket{\phi}= |j\rangle\otimes|\phi\rangle$$
例えば、$n=3$ として逆QFTの結果が $j=|101\rangle$ で測定された場合、固有位相は以下のように求めることができます。
$$\tilde{\theta}=0.101_2=\frac{5}{8}$$
