ポリヤコフ作用とは
ポリヤコフ作用（Polyakov作用）とは、弦理論において弦の運動を記述する基本的な作用です。南部･後藤作用が弦が掃く世界面の面積を最小化する作用なのに対し、ポリヤコフ作用は世界面上に独立な計量を導入しています。
弦が時間とともに動くと２次元の面を描くため、これを世界面と呼び、世界面上の点を $(\tau,\sigma)$ で表します。$\tau$ は時間方向、$\sigma$ は弦に沿った空間方向です。世界面上の点の時空間の位置は $X^\mu(\tau,\sigma)$ で表します。
ポリヤコフ作用は、世界面上の独立な計量 $\gamma_{ab}(\tau,\sigma)$ により以下で表されます。尚、$\alpha’$ は傾きパラメタで、弦の張力 $T$ との関係は $\alpha’=1/2\pi T$ になります。
$$S_P=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\sqrt{-\gamma}\gamma^{ab}g_{\mu\nu}\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu -①$$$$\gamma=\det{(\gamma_{ab})}$$
南部･後藤作用には平方根が含まれているため、量子化（経路積分）が困難という問題があります。一方、ポリヤコフ作用は世界面の計量 $\gamma_{ab}$ を導入することで平方根を解消しています。
平坦な時空 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ の場合、ポリヤコフ作用は以下になります。
$$S_P=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\sqrt{-\gamma}\gamma^{ab}\partial_aX^\mu\partial_bX_\mu -②$$
エネルギー運動量テンソル
ポリヤコフ作用を世界面の計量 $\gamma_{ab}$ に関して変分をとると、平坦な時空間の世界面のエネルギー運動量テンソル：
$$T_{ab}=-\frac{4\pi}{\sqrt{-\gamma}}\frac{\delta S_P}{\delta\gamma^{ab}}$$$$=\frac{1}{\alpha’}\Big(\partial_aX^\mu\partial_bX_\mu-\frac{1}{2}\gamma_{ab}\gamma^{cd}\partial_cX^\mu\partial_dX_\mu\Big) -③$$
が現れ、その運動方程式として以下が得られます。
$$T_{ab}=0 -⓸$$
導出
②の変分をとると、
$$\delta S_P=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\Big(\delta(\sqrt{-\gamma})\gamma^{ab}+\sqrt{-\gamma}\delta\gamma^{ab}\Big)\partial_aX^\mu\partial_bX_\mu -(1)$$
ヤコビの公式：
$$\delta\gamma=\gamma\gamma^{cd}\delta\gamma_{cd}$$
を使うと、
$$\delta\sqrt{-\gamma}=-\frac{\delta\gamma}{2\sqrt{-\gamma}}=\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\gamma^{ab}\delta\gamma_{ab} -(2)$$
ここで $\gamma_{ac}\gamma^{cb}=\delta^b_a$ の変分をとると、
$$\delta\gamma_{ac}\gamma^{cb}+\gamma_{ac}\delta\gamma^{cb}=0$$
両辺に $\gamma_{bd}$ を掛けると、
$$\delta\gamma_{ab}=-\gamma_{ac}\delta\gamma_{bd}\gamma^{cd}$$
これを(2)に代入すると、
$$\delta\sqrt{-\gamma}=-\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\gamma_{cd}\delta\gamma^{cd}$$
これを(1)に代入すると、
$$\delta S_P=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\Big(-\frac{1}{2}\sqrt{-\gamma}\gamma_{cd}\delta\gamma^{cd}\gamma^{ab}+\sqrt{-\gamma}\delta\gamma^{ab}\Big)\partial_aX^\mu\partial_bX_\mu$$
添え字を付け替えると、
$$\delta S_P=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\sqrt{-\gamma}\Big(\partial_aX^\mu\partial_bX_\mu-\frac{1}{2}\gamma_{ab}\gamma^{cd}\partial_cX^\mu\partial_dX_\mu\Big)\delta\gamma^{ab}$$
任意の $\delta\gamma^{ab}$ でこの変分が０になるためには、括弧の中が０になる必要があり、④が導かれます。
ポリヤコフ作用の導出
$\gamma_{ab}$ を使えば、世界面上のスカラー場 $X^\mu$ の運動エネルギー（運動項、kinetic term）は以下で表されます。
$$\gamma^{ab}g_{\mu\nu}\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu$$
世界面の積分には一般共変な面積要素は $\sqrt{-\gamma}d\tau d\sigma$ となるため、作用は定数 $C$ を使って以下の形を持つこと考えることができます。
$$S=C\int d\tau d\sigma\sqrt{-\gamma}\gamma^{ab}g_{\mu\nu}\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu -①’$$$$C=-\frac{1}{4\pi\alpha’}$$
このポリヤコフ作用が南部･後藤作用と同等であることは以下のように示されます。
南部･後藤作用との同等性
$$h_{ab}=g_{\mu\nu}\partial_aX^\mu\partial_bX^\nu=\begin{pmatrix} \partial_\tau X^\mu\partial_\tau X_\mu & \partial_\tau X^\mu\partial_\sigma X_\mu \\ \partial_\sigma X^\mu\partial_\tau X_\mu & \partial_\sigma X^\mu\partial_\sigma X_\mu \end{pmatrix}$$
と置くと④は、
$$h_{ab}=\frac{1}{2}\gamma_{ab}\gamma^{cd}h_{cd}$$
これより、$h_{ab}$ と $\gamma_{ab}$ は比例しており、
$$\gamma_{ab}=e^{2\phi}h_{ab}$$
と置くことができるため、
$$\gamma^{ab}=e^{-2\phi}h^{ab}$$$$\sqrt{-\gamma}=e^{2\phi}\sqrt{-h}$$
これを①’ に代入すると、$h^{ab}h_{ab}=\delta^a_a=2$ より、南部･後藤作用が導かれます。
$$S=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\sqrt{-\gamma}\gamma^{ab}h_{ab}$$$$=-\frac{1}{4\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma e^{2\phi}\sqrt{-h}e^{-2\phi}h^{ab}h_{ab}$$$$=-\frac{1}{2\pi\alpha’}\int d\tau d\sigma\sqrt{-h}$$
