ステファン・ボルツマンの法則とは
ステファン・ボルツマンの法則とは、黒体が単位時間・単位面積あたりに放射するエネルギーは温度の4乗に比例するという法則です。これは、星の光度と表面温度の関係に応用することができます。
単位時間に単位面積に放出されるエネルギー（放射束・放射発散度）$K$ と温度 $T$ には以下の関係があります。
$$K(T)=\sigma T^4$$
ここで $\sigma$ はステファン･ボルツマン定数と呼ばれ、以下の値を持ちます。
$$\sigma=5.67×10^{-8} \mathrm{Wm^{-2}K^{-4}}$$
光度と見かけの明るさ
恒星を例として考えると、光度とは、天球全体から単位時間に放射されるエネルギーで、天体の真の明るさを示します。一方、放射エネルギーは球面上に一様に広がるため、面積 $4\pi r^2$ に反比例します。天体からの距離を $r$ とすると、光度 $L$ と輻射流束 $K$ の関係は以下になります。
$$K=\frac{L}{4\pi r^2}$$
光度は、星の半径を $R$ とすると、星の表面積 $4\pi R^2$ と、単位面積から放射されるエネルギー $\sigma T^4$ を掛け合わせで表すことができます。
$$L=4\pi R^2\sigma T^4$$
ステファン・ボルツマンの法則の導出
以下、ステファン・ボルツマンの法則を分子運動論的に導きます。
弾性衝突を仮定すると、運動量 $P_x=mc_x$ を持つ分子が壁に与える力積は $2P_x$、次の衝突までの時間は $2L/c_x$ です。圧力 $p$ は単位面積あたりの力であり、力は運動量変化率（力率）であるので、壁の面積 $S$ 、圧力との関係は以下になります。
$$\sum 2P_x\frac{c_x}{2L}=Sp －①$$
光子のエネルギーと運動量の関係は $E=pc$ が成り立つため、電磁場のエネルギーは $U=c|{\bf P}|$ となります。これを成分で表すと、
$$U\frac{{\bf c}}{c}=c|{\bf P}|$$
となるため、$x$ 成分に注目すると $P_x=Uc_x/c^2$ となるため、①より以下になります。
$$p=\frac{1}{V}\sum U\frac{c_x^2}{c^2}$$
ここで体積を $V=SL$ としています。空間の等方性を仮定すると、空洞中では光は全方向に等確率で進むため、各方向の平均運動量は等しくなります。
$$c^2=c_x^2+c_y^2+c_z^2$$$$\sum c_x^2=\sum c_y^2=\sum c_z^2$$
これより、単位体積当たりのエネルギー密度を $u=U/V$ と置くと、以下が導かれます。
$$p=\frac{U}{3V}=\frac{1}{3}u(T) -②$$
$u$ は単位体積当たりの電磁場のエネルギーで、この式は電磁波が物体に及ぼす圧力を示します。この式を、熱力学の関係式、
$$dU=TdS-pdV$$$$\Big(\frac{\partial U}{\partial V}\Big)_T=T\Big(\frac{\partial S}{\partial V}\Big)_T-p$$
これにマクスウェルの関係式を使うと、
$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p$$
これに②を代入し、$U=uV$ であるため、
$$u=T\frac{d}{dT}\Big(\frac{u}{3}\Big)-\frac{u}{3}$$$$\frac{du}{u}=4\frac{dT}{T}$$
これを解くと、
$$u(T)\sim T^4$$
光速度を $c$ とすると、単位時間、単位面積当たりのエネルギーは $K\sim cu$ となるため、以下が求められます。
$$K(T)=\sigma T^4$$
尚、今回の導出は光子気体の熱力学を用いたものです。より基本的には、プランクの黒体放射則を全波長で積分してもステファン・ボルツマンの法則が導かれます。
