アインシュタイン方程式
アインシュタイン方程式とは、アルベルト・アインシュタインによって導入された万有引力と重力場を記述する場の方程式です。一般相対性理論において万有引力は、時空連続体の歪みとして説明されます。
平らな空間では、測地線は直線となり質点は直線に沿って運動します。一方、平らでない空間では、アインシュタイン方程式は曲率を表し、質点は測地線に沿って運動します。
物質のない場合
ここでの物質のない空間とは、物質だけでなく、重力場の他にどのような物理的な場も存在しないことを意味します。この場合、アインシュタイン方程式はリッチ・テンソルを０であると仮定することで得られます。
$$R_{ij}=0 -①$$
尚、リッチテンソルはリーマン曲率テンソルの縮約として、
$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k$$
クリストッフェル記号は以下で定義されます。
$$\Gamma^i_{jk}\equiv g^{il}\Gamma_{ljk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right)$$
$$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$$
アインシュタイン方程式は、２階の微分方程式ですが、非線形であるため正確な解を得るのが難しくなっています。しかし例外として、静止した球対称な物体が作る場の場合は、正確な解（シュバルツシルド解）を得ることができます。
アインシュタインの重力理論は、重力が小さく、速度が光速に比べ遅い場合は、ニュートン力学に近似されます。
物質のある場合
物質または重力場以外の場が存在する場合は、アインシュタイン方程式は以下で得られます。この左辺は時空の曲率を表す幾何学量であり、右辺は物質の分布を表す量です。
$$R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=\kappa T_{ij} -②$$$$\kappa\equiv\frac{8\pi}{c^4}G$$
スカラー曲率 $R$ は、リッチテンソルの縮約として得られます。
$$R\equiv R_{ii}$$
物質が存在しない場合、②は以下になりますが、$R=0$ であるため①と等しくなります。
$$R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=0$$
エネルギー・運動量テンソル
テンソル $T^{ij}$ は、非重力的なエネルギーと運動量の密度（$T^{i0}$）と流速（$T^{ij(\ne0)}$）と解釈することができます。②の左辺は、リッチテンソルのビアンキの関係式
$$\Big(R^{ij}-\frac{1}{2}Rg^{ij}\Big)_{:j}=0$$
が成り立つため、②の右辺は以下で表されます。ここでコロン（：）は共変微分を表します。
$$T^{ij}_{:j}=0$$
空間が平らな場合は以下になり、この式はエネルギーと運動量の保存則を表します。
$$\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j}=0$$
一方、空間が曲がっている場合は、エネルギーと運動量の保存は近似的にしか成り立ちません。これは重力場が物質に作用し、自身もエネルギーと運動量とを担うためです。
宇宙項
宇宙項とは、膨張や収縮を起こさない静止宇宙モデルを実現するため、アインシュタインにより導入されました。アインシュタイン方程式は、宇宙定数 $\Lambda$ により以下のように書き替えられます。
$$R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}+\Lambda g_{ij}=\kappa T_{ij}$$
宇宙項は、宇宙定数の符号が負の場合は重力（万有引力）として、正の場合は反重力（万有斥力）として機能します。宇宙膨張の加速の原因として提案されているダークエネルギーは、方程式の上では宇宙項に相当します。
ニュートン近似
以下の３つの仮定を置いて、アインシュタイン方程式のニュートン近似を行います。
- 重力場は静的である。
⇒計量の時間微分を０とする（$g_{ij,0}=0$） - 重力場の曲率は小さい。
⇒クリトッフェル記号を１次の微小量として、２次の項を省略する。 - 光速に比べ遅い速度とする。
⇒速度（$v^i=dx^i/ds$）を１次の微小量として、２次の項を省略する。
運動方程式のニュートン近似
運動方程式は、以下の測地線の方程式として与えられます。
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{jk}\frac{dx^j}{ds}\frac{dx^k}{ds}=0 -③$$
これにニュートン近似を行うと以下が得られます。（④の導出）
$$\frac{d^2x^i}{dt^2}=\frac{1}{2}c^2\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i} -④$$
これは、重力ポテンシャルを $V$ としたときのニュートン方程式を表しています。
$$\frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{\partial V}{\partial x^i}$$
これと③が近似的に同じ運動を与えるための条件として、
$$\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\frac{1}{2}c^2g_{00}-V\Big)=0$$
括弧の中を定数として値を調整すると以下が得られます。
$$g_{00}=1+\frac{2V}{c^2} -⑤$$
尚、重力ポテンシャルは以下で表されます。
$$V=-\frac{Gm}{r}$$
④の導出
仮定３より、速度 $v^i$（$i\ne0$）の大きさを無視すると、
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}+\Gamma^i_{00}\frac{dx^0}{ds}\frac{dx^0}{ds}=0 -(1)$$
まず $dt/ds\simeq 1$ で書き換えると、
$$\frac{d^2x^i}{ds^2}\simeq\frac{d^2x^i}{dt^2}$$$$\frac{dx^0}{ds}\simeq c$$
クリストッフェル記号は仮定１より、
$$\Gamma^i_{00}=g^{ij}\Gamma_{j00}$$$$=\frac{1}{2}g^{ij}\Big(\frac{\partial g_{i0}}{\partial x^0}+\frac{\partial g_{i0}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}\Big)=-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}$$
これらを(1)に代入すると、
$$\frac{d^2x^i}{dt^2}-\frac{1}{2}c^2\frac{\partial g_{00}}{\partial x^i}=0$$
これより⓸が得られます。
重力場のニュートン近似
アインシュタイン方程式①は、仮定１により、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0 -⑥$$
$i=j=0$ とて、仮定３により以下になります。（⑥⑦の導出）
$$g^{kl}\frac{\partial^2g_{00}}{\partial x^k\partial x^l}=0 -⑦$$
ここで、$g_{00}$ を⑤と置くと以下が得られます。
$$g^{kl}\frac{\partial^2V}{\partial x^k\partial x^l}=0 －⑧$$
これより、$V$ はラプラスの方程式を満たし、運動方程式のポテンシャルの役割りを果たすことが分かります。
$$\nabla^2V=0$$
⑥⑦の導出
①をリーマン曲率テンソルで表すと以下になります。
$$R_{ij}=R^k_{ijk}=g^{kl}R_{lijk}=0 -(2)$$
リーマン曲率テンソルは仮定３により以下になります。
$$R_{lijk}=g_{lm}R^m_{ijk}=g_{lm}\Big(\frac{\partial\Gamma^m_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma^m_{ij}}{\partial x^k}+\Gamma^n_{ik}\Gamma^m_{nj}-\Gamma^n_{ij}\Gamma^m_{nk}\Big)$$$$\cong\frac{\partial\Gamma_{lik}}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{lij}}{\partial x^k}$$
クリストッフェル記号の定義を代入すると、
$$=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\Big(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^l}\Big)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^k}\Big(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Big)$$$$=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)$$
これを (2) に代入すると、⑥が得られます。
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{ik}}{\partial x^l\partial x^j}-\frac{\partial^2g_{lj}}{\partial x^i\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{ij}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0$$
ここで、$i=j=0$ とすると、
$$g^{kl}\Big(\frac{\partial^2g_{lk}}{\partial x^0\partial x^0}-\frac{\partial^2g_{0k}}{\partial x^l\partial x^0}-\frac{\partial^2g_{l0}}{\partial x^0\partial x^k}+\frac{\partial^2g_{00}}{\partial x^l\partial x^k}\Big)=0$$
仮定により、計量の時間微分は０になるため、第４項のみが残ります。これより、⑦が導かれます。
