ストークスの定理を導く

/解析学

ストークスの定理とは

ストークスの定理とは、ベクトル場 $A$ の任意の曲面の周回積分が、そのベクトル場の回転(Rotation)の面積分に一致することを述べたものです。

$$\oint{\bf A}\cdot d{\bf s}=\int_S\nabla\times{\bf A}\cdot d{\bf S}$$

ここで、ナブラ記号は以下で定義されます。

$$\nabla\equiv\Big(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\Big)$$

ストークスの定理を導く

任意の閉曲線の周回積分は、細分化した閉曲縁の周回積分の合計となります。イメージは以下の図になります。

大きな四角Aを4つの四角B~Eに細分化します。各小さな四角の周回積分は、隣り合った同士の積分で打ち消し合いますので、小さな4つの四角の周回積分の合計は、元の四角Aの周回積分の値と等しくなります。そのため、任意の閉曲線を細分化した微小閉曲線で話しを進めます。

話しを簡単にするため、xy平面上にある一辺が△xと△yの微小領域を考えます。

この微小領域の周囲を、①→②→③→④の順に積分を行います。

$$({\bf A}\cdot ds)_z=A_x(x,y,z)\Delta x+A_y(x+\Delta x,y,z)\Delta y-A_x(x,y+\Delta y,z)\Delta x-A_y(x,y,z)\Delta y$$

これを並べ替え、

$$({\bf A}\cdot ds)_z=[A_y(x+\Delta x,y,z)-A_y(x,y,z)]\Delta y-[A_x(x,y+\Delta y,z)-A_x(x,y,z)]\Delta x$$

微分形式で表すと

$$({\bf A}\cdot ds)_z=\left(\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x}\Delta x\right)\Delta y-\left(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y}\Delta y\right)\Delta x$$

となるため、ベクトル積の使うと以下で表すことができます。

$$({\bf A}\cdot ds)_z=(\nabla\times{\bf A})_z\Delta x\Delta y$$

これより、ベクトル場の微小領域の周回積分は、ベクトル場の回転の面積分に置換えられることが分かります。そして、任意の面積分はその微小領域の面積分の和で求められるため、ストークスの定理が成り立つことが分かります。

 

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