相対論的弦の運動方程式

/弦理論

相対論的弦の運動方程式

南部・後藤の作用は以下で与えられるため、

$$S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma{\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)$$

$${\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)=-\frac{T_0}{c}\sqrt{(\dot{X}^\mu  X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)}$$

$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$

$\dot{X}$、$X’$ の共役変数 $P^\tau$、$P^\sigma$ を以下で定義すると、

$$P^\tau_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu  X’_\nu)X_\mu’-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu  X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$

$$P^\sigma_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu  X’_\nu)\dot{X}_\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X’_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu  X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$

相対論的な弦の運動方程式は以下で表されます。

$$\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}=0$$

これを導きます。

運動方程式を導く

作用の変分が0である条件を求めます。

$$\delta S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\delta{\mathcal L}=0$$

ラグラジアンの変分を取り、$\delta\dot{X}=\partial(\delta X)/\partial\tau$、$\delta X’=\partial(\delta X)/\partial\sigma$ であるため、

$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}\delta\dot{X}^\mu+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}\delta X^{\mu’}=P^\tau_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\tau}+P^\sigma_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\sigma}$$

部分積分を行うと、

$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)+\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)-\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu$$

この第1項は、

$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)=\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big[P^\tau_\mu\delta X^\mu\Big]_{\tau0}^{\tau1}$$

となるため、$\delta X^\mu(\tau_0,\sigma)=\delta X^\mu(\tau_1,\sigma)=0$ という条件を置けば0になります。

従って作用の変分は、

$$\delta S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\Big[P^\sigma_\mu\delta X^\mu\Big]_{0}^{\sigma1}-\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu -①$$

この第2項は、$X$ の変分によらず0になる必要があるため、これにより運動方程式が得られます。また、第1項については、次の境界条件を考えることで0と置くことができます。

境界条件

①の左辺第1項を0にするためには、全ての次元($\mu$)について以下が成り立つ必要があります。

$$P^\sigma_\mu\delta X^\mu=0  (\sigma=0,\sigma_1)$$

尚、境界条件には固定端(ディレクレ境界条件)と自由端(ノイマン境界条件)の2つがあります。

固定端の条件

固定端の場合は、弦の運動において弦の端点は時間($\tau$)に対し一定となるため、

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}(\tau,0)=\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}(\tau,\sigma_1)=0  (\mu\ne0)$$

または、単に弦の変分を0と置くことができます。

$$\delta X^\mu(\tau,0)=\delta X^\mu(\tau,\sigma_1)=0$$

自由端の条件

自由端の場合は、弦の運動において端点における弦の変分($\delta X^\mu$)に制約を与えません。そのため、境界条件は以下のように定めます。

$$P_\mu^\sigma(\tau,0)=P_\mu^\sigma(\tau,\sigma_1)=0$$

 

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