弦の運動方程式とは
南部・後藤の作用は以下で与えられるため、
$$S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma{\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu) -①$$
$${\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)=-\frac{T_0}{c}\sqrt{(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)}$$$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$
$\dot{X}$、$X’$ の共役変数 $P^\tau$、$P^\sigma$ を以下で定義すると、
$$P^\tau_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)X_\mu’-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$P^\sigma_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)\dot{X}_\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X’_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$
相対論的な弦の運動方程式は以下で表されます。
$$\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}=0 -②$$
弦の運動方程式を導く
作用①の変分が０である条件を求めます。
$$\delta S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\delta{\mathcal L}=0 -③$$
ラグラジアンの変分を取り、$\delta\dot{X}=\partial(\delta X)/\partial\tau$ 、$\delta X’=\partial(\delta X)/\partial\sigma$ であるため、
$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}\delta\dot{X}^\mu+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}\delta X^{\mu’}$$$$=P^\tau_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\tau}+P^\sigma_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\sigma}$$
部分積分を行うと、
$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)+\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)-\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu -④$$
④の第１項については、以下のような境界条件を仮定します。
$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)=\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big[P^\tau_\mu\delta X^\mu\Big]_{\tau0}^{\tau1}=0 -⑤$$
④の第2項については、以下のような境界条件を仮定します。
$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\Big[P^\sigma_\mu\delta X^\mu\Big]_{0}^{\sigma1}=0 -⑥$$
従って、作用の変分③は以下になります。
$$\delta S=-\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu$$
これが $\delta X$ によらず０になる必要があるため、運動方程式②が得られます。
⑤の境界条件
⑤が成り立つための境界条件は、以下のように定めます。
$$\delta X^\mu(\tau_0,\sigma)=\delta X^\mu(\tau_1,\sigma)=0$$
⑥の境界条件
⑥が成り立つための境界条件には、固定端（ディリクレ境界条件）と自由端（ノイマン境界条件）の２つがあり、全ての次元 $\mu$ について成り立つ必要があります。
固定端の場合は、弦の端点は時間 $\tau$ に対し一定となるため、
$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}(\tau,0)=\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}(\tau,\sigma_1)=0 (\mu\ne0)$$
または、単に弦の変分を０と定めます。
$$\delta X^\mu(\tau,0)=\delta X^\mu(\tau,\sigma_1)=0$$
自由端の場合は、境界条件は以下のように定めます。この場合、弦の運動において端点における弦の変分 $\delta X^\mu$ には制約を与えません。
$$P_\mu^\sigma(\tau,0)=P_\mu^\sigma(\tau,\sigma_1)=0$$
