ポートフォリオのリターンとリスク

金融・応用数学

ポートフォリオとは、保有する株式や債券などの投資資産の組合せを表します。一般に、値動きに相関の無い資産を組み合わせたポートフォリオのリスクは、各資産単体のリスクより低減されることが分かっています。

以下、2銘柄のポートフォリオに分散投資した場合のリターンとリスクを求めます。

リターン

資産iの収益率を $R_i$ とすると、ポートフォリオの収益率は以下で求められます。ここで $w_i$ は資産 $i$ の投資比率です($w_1+w_2=1$)。

$$R=w_1R_1+w_2R_2  -①$$

ポートフォリオの期待投資収益率($E[R]$)は以下で定義します。尚、各資産の期待投資収益率($E[R_i]$)は、過去の一定期間の平均から求められます。

$$E[R]=w_1E[R_1]+w_2E[R_2]$$

各資産のリターンを改めて $\mu_i=E[R_i]$ とすると、ポートフォリオのリターン($\mu$)は以下のように表すことができます。

$$\mu=w_1\mu_1+w_2\mu_2  -②$$

リスク

ポートフォリオの分散($V$)と標準偏差($\sigma$)は以下で定義されます。ポートフォリオの分散($V[R]$)は、過去の一定期間の平均から求められます。

$$V[R]\equiv E[(R-E[R])^2]  -③$$

$$\sigma(R)\equiv\sqrt{V[R]}$$

①と②を③に代入し、

$$\sigma^2=E[(R-E[R])^2]=E[(w_1R_1+w_2R_2-w_1\mu_1-w_2\mu_2)^2]$$

括弧の中を並べ替え、公式 $E[x+y]=E[x]+E[y]$ を使うと、

$$\sigma^2=w_1^2E[(R_1-\mu_1)^2]+2w_1w_2E[(R_1-\mu_1)(R_2-\mu_2)]+w_2^2E[(R_2-\mu_2)^2]$$

これを分散と共分散($C(R_1,R_2)$)を使って表すと、

$$\sigma^2=w_1^2V[R_1]+2w_1w_2C(R_1,R_2)+w_2^2V[R_2]$$

また、標準偏差と相関係数($\rho_{12}$)を使って表すと以下になります。

$$\sigma^2=w_1^2\sigma_1^2+2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}+w_2^2\sigma_2^2$$

共分散と相関係数

ポートフォリオの共分散とは、2資産の相関性を表す尺度です。2資産の共分散は、以下で定義されます。

$$C(R_1,R_2)\equiv E[(R_1-E[R_1])(R_2-E[R_2])]$$

共分散がプラスの場合は、2つの資産の値動きは同じ方向に動きます。例えば、資産1が値上がりすれば、資産2も上がります。マイナスの場合は、2つの資産の値動きは逆の方向となります。共分散が0の場合は、2資産の間に相関関係が無いことが言えます。

尚、共分散は資産同士の相関性の有無を表すことができますが、相関性の強弱を表すことはできません。2資産の相関性の強弱を表す尺度は相関係数で、以下で定義されます。

$$\rho_{12}\equiv\frac{C(R_1,R_2)}{\sigma(R_1)\sigma(R_2)}$$

相関係数は、-1から1までの値をとります。2資産の全く同じ値動きを取る場合は1、全く逆の動きになる場合は-1となります。

 

金融・応用数学
リターン&リスク、ポートフォリオ理論、効率的フロンティア、資本資産価格モデル、先物取引、スワップ取引、ゲーム理論、ナッシュ均衡
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