南部・後藤作用とは

場の量子論

南部・後藤作用とは

南部・後藤作用は、相対論的な弦に関する不変量を表します。

d次元の時空間 $x^\mu=(x^0,x^1,\cdots,x^d)$ での1次元の弦の場合、この弦の時空間での軌跡は、2次元の面(世界面)として表されます。世界面上の座標は2つのパラメタ($\tau,\sigma$)で指定することができ、このパラメタ空間と呼びます。

パラメタ空間の点の時空間への写像を $X^\mu$(弦座標)とすると、

$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$

南部・後藤作用は以下で表されます。

$$S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma{\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)$$

$$\dot{X}^\mu\equiv\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}  ,  X^{\mu’}\equiv\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}$$

ここでラグラジアン密度は、弦の張力を $T_0$、光速度をcとすると、以下で定義されます。

$${\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X^{\mu’})=-\frac{T_0}{c}\sqrt{(\dot{X}^\mu  X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)}$$

パラメータ付替え不変性

作用積分がパラメータ付けに依らないことが分かる形式で記述します。行列 $\gamma$ を以下で定義すると、

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma} \to \frac{\partial X^\mu}{\partial\xi_\alpha}\frac{\partial X_\mu}{\partial\xi_\beta}\equiv\gamma_{\alpha\beta}$$

$$\gamma_{\alpha\beta}=
\left(\begin{array}{cc} (\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)^2 & \dot{X}^\mu  X’_\mu \\
\dot{X}^\mu  X’_\mu & (X^{\nu’}X’_\nu)^2 \end{array}\right)$$

ラグラジアン密度は以下で表すことができます。

$${\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X^{\mu’})=-\frac{T_0}{c}\sqrt{-\det{(\gamma_{\alpha\beta})}}$$

南部・後藤作用を導く

面積汎関数

面積汎関数は、時空間での面積要素で、スカラー積で表されるためローレンツ不変量となります。まず、面積汎関数を導きます。

パラメタ空間の微小長方形($d\tau,d\sigma$)から、時空間上の($d\vec{q}_1,d\vec{q}_2$)への写像を次のように表します。

$$dq_1^\mu=\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}d\tau  ,  dq_2^\mu=\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}d\sigma$$

時空間上では平行四辺形で表されるため、この面積 $dA$ は、$d\vec{q}_1$ と $d\vec{q}_2$ のなす角を $\theta$ とすると以下で表されます。

$$dA=|d\vec{q}_1||d\vec{q}_2||\sin{\theta}|=\sqrt{|d\vec{q}_1|^2|d\vec{q}_2|^2(1-\cos^2{\theta})}$$

スカラー積の記号を使うと、

$$dA=\sqrt{(d\vec{q}_1\cdot d\vec{q}_1)(d\vec{q}_2\cdot d\vec{q}_2)-(d\vec{q}_1\cdot d\vec{q}_2)^2}$$

根号の中は負になるので、順序を入れ替えると面積汎関数が得られます。

$$dA=d\tau d\sigma\sqrt{\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma}\Big)^2-\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\tau}\Big)\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma}\Big)}$$

この根号の中が正になることを、以下に示します。

正接ベクトルの条件

世界面上の点Pの正接ベクトルを以下で表します。変数kの値により、正接ベクトルの向きが時間的であるか空間的でるかが変わります。

$$v^\mu(k)=\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}+k\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}    (-\infty\lt k\lt\infty)$$

正接ベクトルの2乗をとると、

$$v^2(k)=k^2\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma}\Big)+2k\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma}\Big)+\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\tau}\Big)$$

このとき、変数kは実数である必要があるため、$v^2(k)=0$ とした場合の判別式より、以下の条件が導かれます。

$$\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma}\Big)^2-\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}\frac{\partial X_\mu}{\partial\tau}\Big)\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\frac{\partial X_\mu}{\partial\sigma}\Big)\gt0$$

作用を求める

面積汎関数は、距離の2乗の次元($L^2$)を持ちます。これは、$X$ と $\sigma$ が距離、$\tau$ が時間の次元($T$)であることから分かります。一方、作用は $ML^2/T$ の次元を持つため、面積汎関数から作用を計算するときの比例定数は、$M/T$ の次元を持つ必要があります。

従って、この比例定数を弦の張力と光速度から、$T_0/c$ と置いてやることで次元を合わせることができます。

 

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クライン・ゴルドンの方程式、ディラック方程式
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