ラウエの条件とは

/個体物理

ラウエの条件

ラウエの条件とは、結晶格子による回折が起きる条件式です。この条件式は、散乱ベクトル $\Delta{\bf k}$ と逆格子ベクトル ${\bf G}$ により、以下で表されます。

$$\Delta{\bf k}={\bf G}$$

ここで、散乱ベクトルは入射波の波束ベクトル ${\bf k}$ と反射波の波束ベクトル ${\bf k’}$ により以下で定義されます。

$$\Delta{\bf k}\equiv{\bf k}-{\bf k’}  ,  |{\bf k}|=\frac{2\pi}{\lambda}$$

また、逆格子ベクトルは、結晶格子の基本並進ベクトル(${\bf a},{\bf b},{\bf c}$)から、以下で定義されます。尚、($h,k,l$)はミラー指数と呼ばれる整数です。

$${\bf G}\equiv h{\bf a}^*+k{\bf b}^*+l{\bf c}^*$$

$${\bf a}^*=\frac{{\bf b}\times{\bf c}}{V}  ,  {\bf b}^*=\frac{{\bf c}\times{\bf a}}{V}  ,  {\bf c}^*=\frac{{\bf a}\times{\bf b}}{V}$$$$V={\bf a}\cdot({\bf b}\times{\bf c})$$

回折条件を導く

以下、ラウエの条件を導きます。

位相差

最初に、互いに ${\bf r}$ 離れた体積素片 $dV$ で反射されるX線間の位相差を求めます。

まず、入力X線の光路差は $\Delta_1=r\sin{\theta}$ であり、

$${\bf k}\cdot{\bf r}=kr\cos{(\pi/2-\theta)}=kr\sin{\theta}$$

であるため、位相差 $\theta_1$ は以下になります。

$$\theta_1=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta_1=k\Delta_1={\bf k}\cdot{\bf r}$$

同様に、反射X線の光路差は、$\Delta_2=r\sin{\phi}$ であり、

$${\bf k’}\cdot{\bf r}=kr\cos{(\pi/2+\phi)}=-kr\sin{\phi}$$

であるため、位相差 $\theta_2$ は以下になります。

$$\theta_2=\frac{2\pi}{\lambda’}\Delta_2=k’\Delta_2=-{\bf k’}\cdot{\bf r}$$

従って、両方を合わせた位相差は、

$$\theta_1+\theta_2=({\bf k}-{\bf k’})\cdot{\bf r}=\Delta{\bf k}\cdot{\bf r}$$

となります。これにより、位相因子 $e^{i\Delta{\bf k}\cdot{\bf r}}$ が求められます。

散乱振幅

散乱振幅 $F$ とは、反射X線の強さを表す関数で、位相因子に電子密度 $n$ を掛けて積分することで求められます。

$$F=\int n({\bf r})e^{i\Delta{\bf k}\cdot{\bf r}}dV  -①$$

周期的な結晶構想内での電子密度は、逆格子ベクトルにより以下で表されるため、

$$n({\bf r})=\sum_Gn_Ge^{i{\bf G}\cdot{\bf r}}$$

これを②に代入すると以下になります。

$$F=\sum_G\int n_Ge^{i({\bf G}-\Delta{\bf k})\cdot{\bf r}}dV$$

従って、ラウエの条件($\Delta{\bf k}={\bf G}$)が成り立つときに位相因子は1になり、散乱振幅は次の極大値をもつことが分かります。

$$F=\sum_Gn_GV$$

 

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