フーリエ変換とは

/解析学

本記事では、フーリエ級数とフーリエ変換を説明します。

フーリエ級数

フーリエ級数とは、任意の周期関数を直交関数の和として表した無限級数です。

区間「$-\pi\leq\theta\leq\pi$」で定義された関数 $f(\theta)$ が $f(-\pi)=f(\pi)$ を満足し、かつ、関数の微分 $f'(\theta)$ の不連続点が有限個しか存在しない場合、三角関数または指数関数の和で表されることが証明されています。

三角関数表示

関数fが空間軸で周期 $L$($-L/2\sim L/2$)を持つ場合、この関数は以下のように展開することができます。ここで、$k_n\equiv2\pi n/L$ です。

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{k_nx}+b_n\sin{k_nx})  -①$$

ここで、各項の係数は以下で定義されます。

$$a_n\equiv\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\cos{k_nx}dx$$

$$b_n\equiv\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\sin{k_nx}dx$$

このことは、$a_n$ の式に①を代入して、三角関数の直交条件を利用すると、$n=m$ 以外の項が全て0になるため確認することができます。

$$a_n=\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}\left[\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^\infty(a_m\cos{k_mx}+b_m\sin{k_mx})\right]\cos{k_nx}dx$$

$$=\frac{2}{L}\sum_{m=1}^\infty\left(\delta_{mn}\frac{L}{2}a_m\right)$$

指数関数表示

三角関数を使ったフーリエ級数は、指数関数を使ったフーリエ級数に書き換えることができます。

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_nu_n(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{ik_nx}  -②$$

$$c_n\equiv\int u_n^*(x)f(x)dx=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ik_nx}f(x)dx  -③$$

このことは、$c_n$ の式に②を代入すると、$n=m$ 以外の項が全て0になるため確認することができます。

$$c_n=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ik_nx}\left[\sum_{m=-\infty}^\infty c_me^{ik_mx}\right]dx=\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^\infty c_m\delta_{mn}L$$

尚、係数 $c_n$ と $a_n,b_n$ との関係は以下で表されます。

$$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}  ,  c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}  ,  c_0=\frac{a_0}{2}$$

これを②に代入し、オイラーの関係式($e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$)を使うと①が得られます。

フーリエ変換

フーリエ変換とは、元の関数の周波数成分を変数とした関数への変換です。フーリエ級数の係数を求める式(③)がフーリエ変換となります。

空間成分

空間成分のフーリエ変換は③からの類推により以下で定義されます。

$$F(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}dx  -④$$

また、逆フーリエ変換は以下により定義されます。

$$f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}dk$$

時間成分

時間成分のフーリエ変換は、④で $(k,x)$ → $(\omega,t)$ と置き換えることで得られます。

$$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega t}d\omega$$

また、逆フーリエ変換は以下により定義されます。

$$f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

 

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