固有値問題とは

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固有値問題とは

固有値問題とは、あるベクトルの線形変換が、元のベクトルのスカラー倍になるための条件を求める問題です。このスカラー倍の値を固有値と呼びます。

線型変換を $n\times n$ の正方行列($A$)とすると、固有値($\lambda$)とそれに対応する固有ベクトル(${\bf x}$)の関係は以下で表されます。

$$A{\bf x}=\lambda{\bf x}$$

これは単位行列($I$)を使ってを書き換えると、

$$(A-\lambda I){\bf x}=0$$

この方程式が自明でない解をもつためには、以下の固有方程式が0である必要があります。

$$\Phi_A(\lambda)\equiv|A-\lambda I|=0$$

これは $n$ 次の代数方程式なので、重複を含めると $n$ 個の根が存在することになります。

$$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)=0$$

固有値

固有値について以下のことが成り立ちます。

  1. 行列 $A$ の行列式は、固有値の積で表される。
    $$|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$
  2. 行列 $A$ の対角和は、固有値の和で表される。
    $$\mathrm{tr}A=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$
  3. 逆行列 $A^{-1}$ が存在することと、行列式が0でない($|A|\ne0$)ことと、全ての固有値が0でない($\lambda_i\ne0$)ことは同値となる。
  4. 行列 $A$ が対象行列の場合、全ての固有値は実数になる。

固有ベクトル

固有ベクトルについて以下のことが成り立ちます。

  1. 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。それらの固有ベクトルは、固有空間を作りる。
  2. 行列 $A$ が対象行列の場合、全ての固有ベクトルは実数ベクトルとなる。
  3. 各固有値に対応する大きさ1の固有ベクトルを ${\bf u}_i,$ とすると、このベクトルを並べた行列 $U=({\bf u}_1\cdots{\bf u}_n)$ は直交行列となる。
    $$UU^t=U^tU=I$$
  4. この直交行列 $U$ を用いて、行列 $A$ を対角化することができる。ここで、固有値 $\lambda_i$ を対角上に並べた行列を $\Lambda$ とする。
    $$U^tAU=\Lambda  -①$$

行列の対角化

①について証明します。$n$ 個の固有値とそれに属する固有ベクトルについて、

$$A{\bf u}_1=\lambda_1{\bf u}_1,\cdots,A{\bf u}_n=\lambda_n{\bf u}_n$$

であるため、まとめて書くと、

$$A({\bf u}_1\cdots{\bf u}_n)=({\bf u}_1\cdots{\bf u}_n)
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix}=U\Lambda$$

この両辺の左から $U^{-1}$ を掛けると以下が得られます。

$$U^{-1}AU=\Lambda$$

 

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