ドリフト運動とは

/プラズマ物理

ドリフト運動

ドリフト運動とは、磁場内を運動する荷電粒子にある力が作用したとき、磁場にも力にも垂直な方向に発生する等速運動です。

一定磁場な磁場のみ存在する空間では、荷電粒子はローレンツ力により円運動を行うため、磁場により閉じ込められた状態になります。しかし、力が働くと、その閉じ込めが破られてしまします。

このときの運動方程式は以下になります。右辺1項が荷電粒子に働く力(${\bf F}$)、第2項はローレンツ力を表します。

$$m\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf F}+q{\bf v}\times{\bf B}  -①$$

このとき、ドリフト運動の速度 ${\bf v}_f$ は以下になります。

$${\bf v}_f=\frac{1}{q}\frac{{\bf F}\times{\bf B}}{B^2}  -②$$

②を導く

①の左辺は円運動を表すため0と置き、右から ${\bf B}$ のベクトル積を取り、ベクトル公式

$$({\bf v}\times{\bf B})\times{\bf B}=-B^2{\bf v}+({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$

を使うと以下になります。

$$0={\bf F}\times{\bf B}-qB^2{\bf v}+q({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$

第3項は磁場に平行な運動になるため、第1項がドリフト運動に相当します。

重力の場合

重力の場合、${\bf F}=m{\bf g}$ であるため②より以下になります。

$${\bf v}_g=\frac{m}{q}\frac{{\bf g}\times{\bf B}}{B^2}$$

電場の場合

電場の場合、${\bf F}=q{\bf E}$ であるため②より以下になります。

$${\bf v}_E=\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2}$$

特に電場が場所により異なる場合、

$${\bf F}=q\Big(1+\frac{1}{4}r_L^2\nabla^2\Big){\bf E}  -③$$

となるため、これによるドリフトは以下になります。

$${\bf v}_E=\Big(1+\frac{1}{4}r_L^2\nabla^2\Big)\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2}$$

磁場の強さが変わる場合

非均一な磁場で、特に $\nabla B\perp{\bf B}$ の場合を考えます。 磁場の強さが以下のようにテイラー展開されるとき、

$${\bf B}={\bf B}_0+({\bf r}\cdot\nabla){\bf B}+\cdots$$

磁場から受ける力は以下になります。ここで、$r_L$ はラーモア半径、$v_\perp$ は磁場に垂直面上での速度です。

$${\bf F}=-q{\bf v}\times{\bf B}=\frac{qv_\perp r_L}{2}\nabla B  -④$$

$$r_L=\frac{mv_\perp}{|q|B}$$

従って、$\nabla B$ によるドリフトは②より以下になります。

$${\bf v}_{\nabla B}=\frac{v_\perp r_L}{2}\frac{(\nabla B)\times{\bf B}}{B^2}$$

④を導く

磁場を $(0,0,B_z)$、強さが $y$ 軸方向に変化する場合、磁場のテイラー展開は、

$$B_z=B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}$$

ローレンツ力の $y$ 成分を書くと、

$$F_y=-qv_xB_z=-qv_x\Big(B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$

回転運動を行っているため、

$$(x,y)=(r_L\cos{\omega_ct},r_L\sin{\omega_ct})$$

$$(\dot{x},\dot{y})=(-\omega_cr_L\sin{\omega_ct},\omega_cr_L\cos{\omega_ct})$$

従って、

$$F_y=q\omega_cr_L\sin{\omega_ct}\Big(B_0+r_L\sin{\omega_ct}\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$

これの平均を取ると、第1項は0、第2項は $\overline{\sin^2{\omega t}}=1/2$ であるため、

$$\overline{F}_y=\frac{q\omega_cr_L^2}{2}\frac{\partial B}{\partial y}$$

湾曲磁場の場合

非均一な磁場で、特に磁場が湾曲している場合を考えます。磁力線の曲率半径を $R_c$ とすると、磁力線に沿って運動する荷電粒子が受ける遠心力は、

$${\bf F}_{cf}=mv_\parallel^2\frac{{\bf R}_c}{R_c^2}$$

であるため、湾曲磁場によるドリフトは②より以下になります。

$${\bf v}_R=\frac{mv_\parallel^2}{2}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}$$

尚、磁場が湾曲している場合は磁場の強さも変化するため、真空湾曲磁場でのドリフトは$\nabla B$ との合成になります。

$${\bf v}_R+{\bf v}_{\nabla B}=\frac{m}{q}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}\Big(v_\parallel^2+\frac{1}{2}v_\perp^2\Big)$$

 

物性物理
統計力学、個体物理、プラズマ物理、宇宙物理、エレクトロニクス、量子コンピュータ
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

Wikipedia

 

タイトルとURLをコピーしました