四端子回路
四端子回路とは、入力２端子と出力２端子を持つ回路で、簡単なフィルタ回路やトランジスタなどは四端子回路とみなすことができます。
伝送行列
四端子回路の伝送行列（ABCDパラメタ）は、四端子回路の電圧と電流の関係を表した行列です。伝送行列は、縦続接続の回路に利用されます。
四端子回路の左側を入力（電圧：$V_1$、電流：$J_1$）、右側を出力（電圧：$V_2$、電流：$J_2$）とすると、以下の関係で表すことができます。
$$\left(\begin{array}{cc} V_1 \\ J_1 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} V_2 \\ J_2 \end{array}\right) -①$$
基本行列の各パラメタ（$A$、$B$、$C$、$D$）は四端子定数と呼ばれます。
インピーダンス行列
インピーダンス行列（Ｚ行列）とは、伝送行列の代わりに、インピーダンスで表した行列です。インピーダンス行列は、直列接続や開放条件の回路に利用されます。
尚、入力側と出力側を対称にするため、$J_2$ の向きを逆にしていることに注意して下さい。インピーダンス行列は以下で表されます。
$$\left(\begin{array}{cc} V_1 \\ V_2 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} J_1 \\ J_2 \end{array}\right) -②$$
インピーダンス行列の各要素は以下の意味を持ちます。
- $Z_{11}$：出力側を開放したときの入力インピーダンス
- ：入力側を開放したときの出力インピーダンス
- ：反対側ポートからの影響を表す伝達インピーダンス
アドミッタンス行列
アドミッタンス行列（Ｙ行列）とは、伝送行列の代わりに、アドミッタンスで表した行列です。アドミッタンス行列は、並列接続や短絡条件の回路に利用されます。
$$\left(\begin{array}{cc} J_1 \\ J_2 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} V_1 \\ V_2 \end{array}\right)$$
相反定理
相反定理とは、四端子回路の入力側と出力側の対称性を表す関係式で、線形・相反な二端子素子から構成される回路で成り立ちます。相反定理は、
- 入力側に電圧 $V$ をかけて、出力側を短絡させた場合、出力側に流れる電流 $J_2$
- 出力側に電圧 $V$ をかけて、入力側を短絡させた場合、入力側に流れる電流 $J_1$
の２つのケースで、それぞれの電流は等しい（$J_1=J_2=J$）ことを表します。
この定理は、例えば、抵抗、コンデンサ、コイル、相反的な結合回路などでは成立します。一方、能動回路、トランジスタ、増幅器、非相反素子などでは一般に成り立ちません。
インピーダンス行列の相反定理
相反定理は、入力側から出力側への伝達特性と、出力側から入力側への伝達特性が等しいことを表します。インピーダンス行列の相反定理は以下で表されます。
$$Z_{12}=Z_{21} -③$$
③の導出
ケース１の場合の②は以下で表され、
$$\left(\begin{array}{cc} V_1 \\ 0 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 0 \\ J_2 \end{array}\right)$$
ケース２の場合の②は以下で表されるため、
$$\left(\begin{array}{cc} 0 \\ V_2 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} J_1 \\ 0 \end{array}\right)$$
ここで、$J_1=J_2=J$ 、$V_1=V_2=V$ と仮定すると、これらより以下の関係が成り立ちます。
$$\frac{V}{J}=Z_{12}=Z_{21}$$
アドミッタンス行列の相反定理
アドミッタンス行列の相反定理は以下で表されます。
$$Y_{12}=Y_{21}$$
伝送行列の相反定理
相反四端子回路の伝送行列の相反定理は以下で表されます。
$$AD-BC=1 -④$$
④の導出
四端子行列の伝送行列を、$C\ne0$ を前提にインピーダンス行列に合わせて書き換えると以下になります。ここで、$J_2$ の符号を逆にしていることに注意して下さい。
$$\left(\begin{array}{cc} V_1 \\ V_2 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} A/C & AD/C-B \\ 1/C & D/C \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} J_1 \\ -J_2 \end{array}\right)$$
これに $Z_{12}=Z_{21}$ を当てはめると、
$$\frac{AD}{C}-B=\frac{1}{C}$$
④が成り立つことが分かります。
四端子行列の合成
カスケード接続
カスケード接続とは、２つの四端子回路を並べたもので、${\bf x}_1\to{\bf x}_2\to{\bf x}_3$ とすると、
$${\bf x}_2=T_1{\bf x}_1$$$${\bf x}_3=T_2{\bf x}_2=T_2T_1{\bf x}_1=T'{\bf x}_1$$
合成された伝送行列は以下で表されます。
$$\left(\begin{array}{cc} A’ & B’ \\ C’ & D’ \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc} A_2 & B_2 \\ C_2 & D_2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ C_1 & D_1 \end{array}\right)$$
