ブラック･ショールズ方程式とは

ブラック･ショールズ方程式とは
ブラック･ショールズ方程式の導出
ブラック･ショールズの評価式

ブラック･ショールズ方程式とは

ブラック–ショールズ方程式（Black–Scholes Equation）とは、デリバティブの価格づけに現れる偏微分方程式です。

時刻 $t$ での原資産（株式）の価格が $S$ であるときの派生証券の価格を $f$ とすると、この価格 $f(S,t)$ は以下の偏微分方程式を満たします。

$$\frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=rf　　-①$$

尚、原資産（株式）の価格 $S$ が、ウィーナー過程 $x$ と以下の関係にあることを前提とします。$\sigma$ はボラリティ（変動率）、$\mu$ はドリフト（平均増加率）を表し、いずれも定数とします。

$$dS=\mu Sdt+\sigma Sdx　　-②$$

また、無リスク資産（債券）の価格 $B$ が、利率 $r$ と以下の関係にあること前提とします。

$$dB=rBdt　　-③$$$$B(t)=B_0e^{rt}$$

単純な例として、株式（$f=S$）や債券（$f=e^{rt}$）は、ブラック–ショールズ方程式を満たすことが分かります。もし、派生証券がブラック–ショールズ方程式を満たさなければ、裁定機会が生じてしまうため、派生証券の価格は是正される方向に向かいます。

ブラック･ショールズ方程式の導出

ブラック–ショールズ方程式を以下の伊藤の公式から導きます。

$$df(z,t)=\Big(\frac{\partial f}{\partial t}+a\frac{\partial f}{\partial z}+\frac{b^2}{2}\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\Big)dt+b\frac{\partial f}{\partial z}dx$$$$dz(t)=a(z,t)dt+b(z,t)dx$$

ここで $z\to S$（株式）として、②を使うと、

$$df=\Big(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\Big)dt+\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}dx　　-(1)$$

上記の派生証券 $f$ を複製するような株式と債券からなるポートフォリオ $F$ を考えます。時刻 $t$ での株式の量 $\alpha$ を、債券の量を $\beta$ とします。

$$F(t)=\alpha_tS(t)+\beta_tB(t)　　-(2)$$$$dF=\alpha_tdS+\beta_tdB　　-(3)$$

(3)に②と③を代入すると、

$$dF=(\alpha_t\mu S+\beta_t rB)dt+\alpha_t\sigma Sdx　　-(4)$$

$f=F$ として、(4)と(1)を比べると、

$$\alpha_t=\frac{\partial f}{\partial S}$$

$\alpha_t$ を(2)に代入すると、

$$\beta_t=\frac{1}{B}\Big(f-S\frac{\partial f}{\partial S}\Big)$$

これらより(4)を書き換えると、

$$df=\Big(\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+rf-rS\frac{\partial f}{\partial S}\Big)dt+\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}dx　　-(5)$$

(1)と(5)の第１項の括弧の中を等しいと置くと、ブラック–ショールズ方程式が得られます。

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+rf-rS\frac{\partial f}{\partial S}$$

$$\frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2f}{\partial S^2}=rf$$

ブラック･ショールズの評価式

ブラック–ショールズ方程式は、一般に解析解を得ることはできませんが、ヨーロピアン・コールオプションについては解析解を得ることができます。

権利行使価格 $K$ 、満期 $T$ で、期間［$0,T$］中に配当支払いはなく、一定金利 $r$（複利）の場合、ブラック–ショールズの解は以下で表されます。

$$f(S,t)=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$$$$d_1\equiv\frac{\ln{(S/K)}+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$$$d_2\equiv\frac{\ln{(S/K)}+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

ここで $N(x)$ は累積正規分布関数です。

$$N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\xi^2/2}d\xi$$