マクスウェル場の古典論
マクスウェル場とは、マクスウェル方程式に従う電磁場です。真空のまず、古典論について説明します。
$$\nabla\cdot{\bf B}=0 -①$$$$\nabla\cdot{\bf D}=0 -②$$$$\nabla\times{\bf E}+\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}=0 -③$$$$\nabla\times{\bf H}-\frac{\partial{\bf D}}{\partial t}=0 -④$$
尚、電場と磁場には以下の関係があります。
$${\bf D}=\epsilon_0{\bf E}$$$${\bf B}=\mu_0{\bf H}$$$$\epsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2}$$
ベクトルポテンシャル
ベクトルポテンシャル ${\bf A}$ を⑤で定義すると、①は自動的に満たされ、②～④は⑥～⑦に書き替えることができます。
$${\bf B}\equiv\nabla\times{\bf A} -⑤$$$$\nabla\cdot{\bf A}=0 -⑥$$$${\bf E}=-\frac{\partial{\bf A}}{\partial t} -⑦$$$$\nabla^2{\bf A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2{\bf A}}{\partial t^2}=0 -⑧$$
⑧は波動方程式であり、${\bf A}$ は波数 ${\bf k}$ の平面波の重ね合わせで表されることが分かります。
$${\bf A}({\bf r},t)={\bf A}_0e^{i({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t)} -⑨$$$$k_x=\frac{2\pi}{\lambda_x} , k_y=\frac{2\pi}{\lambda_y} , k_z=\frac{2\pi}{\lambda_z}$$
⑨を⑧と⑥に代入するとそれぞれ以下のようになります。これらにより、${\bf A}$ が速度 $c$ の波動であることと、振幅が進行方向 ${\bf k}$ に垂直（横波）であることが分かります。
$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2=\frac{\omega^2}{c^2} -⑩$$$$0=A_{0x}k_x+A_{0y}k_y+A_{0z}k_z={\bf A}_0\cdot{\bf k}$$
電場や磁場に物理的な意味を持たせるため、⑨の実部（複素共役の和）を解として用いる必要があります。そのため、⑨を以下のように置き換え、全ての波数 ${\bf k}$ について和を取ります。
$${\bf A}({\bf r},t)=\sqrt{\frac{1}{V}}\sum_{k}\sum_{j=1}^2\vec{\epsilon}_{kj}\Big(q_{kj}(t)e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}+q_{kj}^*(t)e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}\Big) -⑪$$$$q_{kj}(t)=|q_{kj}|e^{-i(\omega_kt+\delta_{kt})}$$
また、振幅は進行方向に対し垂直となるため、各波数に対し自由度は２となります。これを単位ベクトルの組（$\vec{\epsilon}_{k1},\vec{\epsilon}_{k2}$）で表しています。
電場
電場は⑨を⑦に代入することで得られます。
$${\bf E}({\bf r},t)=i\omega{\bf A}_0e^{i({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t)}$$
⑪についても同様に書き替えると、
$${\bf E}({\bf r},t)=\sqrt{\frac{1}{V}}\sum_{k}\sum_{j=1}^2i\omega_k\vec{\epsilon}_{kj}\Big(q_{kj}(t)e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}-q_{kj}^*(t)e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}\Big) -⑫$$
磁場
電場は⑨を⑤に代入することで得られます。
$${\bf B}({\bf r},t)=i({\bf k}\times{\bf A}_0)e^{i({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t)}$$
⑪についても同様に書き替えると、
$${\bf B}({\bf r},t)=\sqrt{\frac{1}{V}}\sum_{k}\sum_{j=1}^2i({\bf k}\times\vec{\epsilon}_{kj})\Big(q_{kj}(t)e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}-q_{kj}^*(t)e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}\Big) -⑬$$
ハミルトニアン
電磁場のハミルトニアンは以下で表されます。
$$U({\bf r},t)=\frac{1}{2}({\bf D}\cdot{\bf E}+{\bf B}\cdot{\bf H}) -⑭$$
一般化座標を以下で定義すると、
$$Q_{kj}(t)\equiv q_{kj}(t)+q_{kj}^*(t) -⑮$$
古典論のハミルトニアンは以下で表されます（⑯⑰の導出）。
$$H=\int_VUd{\bf r}=2\epsilon_0\sum_{kj}\omega_k^2q_{kj}^*q_{kj} -⑯$$$$=\frac{\epsilon_0}{2}\sum_{k,j}\Big(\dot{Q}_{k,j}^2+\omega_k^2Q_{k,j}^2\Big) -⑰$$$$=\sum_{k,j}\Big(\frac{1}{2\epsilon_0}P_{kj}^2+\frac{\epsilon_0}{2}\omega_k^2Q_{k,j}^2\Big) -⑱$$
最後は以下の共役な一般化運動量を使っています。
$$P_{kj}=\frac{\partial L}{\partial\dot{Q}_{kj}}=\epsilon_0\dot{Q}_{kj} -⑲$$
マクスウェル場の量子論
ハミルトニアン
古典論から量子論へ移るには、
$$P_{kj} \to -i\hbar\frac{\partial}{\partial Q_{kj}}$$
と置き換えればよいので、
$$H=\sum_{k,j}\Big(-\frac{\hbar^2}{2\epsilon_0}\frac{\partial^2}{\partial^2Q_{kj}}+\frac{\epsilon_0}{2}\omega_k^2Q_{kj}^2\Big)$$
演算子
⑳は量子的な調和振動子であるため、$m\to\epsilon_0$ のように類推すると、演算子を以下で定義することができます。
$$a^*_{k,j}=\sqrt{\frac{\epsilon_0\omega_k}{2\hbar}}\Big(Q_{kj}-\frac{i}{\epsilon_0\omega_k}P_{kj}\Big)$$$$a_{k,j}=\sqrt{\frac{\epsilon_0\omega_k}{2\hbar}}\Big(Q_{kj}+\frac{i}{\epsilon_0\omega_k}P_{kj}\Big)$$
ここで、⑮と⑲より書き換えると、
$$a_{k,j}^*=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\omega_k}{\hbar}}q_{kj}^*$$$$a_{k,j}=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\omega_k}{\hbar}}q_{kj}$$
これを⑯に代入すると、量子論のハミルトニアンは以下のように書き替えられます。
$$H=\sum_{k,j}\hbar\omega_ka_{k,j}^*a_{k,j}$$
これらの演算子は以下のような性質があります。尚、$n_{k,j}$ は光子の数を表します。
$$a_{k,j}^*a_{k,j}=n_{k,j}$$$$a_{k,j}a_{k,j}^*-a_{k,j}^*a_{k,j}=1$$
ベクトルポテンシャル
⑳と㉑を⑪に代入すると、量子論でのベクトルポテンシャルが得られます。
$${\bf A}({\bf r},t)=\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0V}}\sum_{k,j}\frac{\vec{\epsilon}_{kj}}{\sqrt{\omega_k}}\Big(e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}a_{kj}+e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}a_{kj}^*\Big)$$
電場
⑳と㉑を⑫に代入すると、量子論での電場が得られます。
$${\bf E}({\bf r},t)=\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0V}}\sum_{k,j}i\sqrt{\omega_k}\vec{\epsilon}_{kj}\Big(e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}a_{kj}-e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}a_{kj}^*\Big)$$
磁場
⑳と㉑を⑬に代入すると、量子論での磁場が得られます。
$${\bf B}({\bf r},t)=\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0V}}\sum_{k,j}i\frac{{\bf k}\times\vec{\epsilon}_{kj}}{\sqrt{\omega_k}}\Big(e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}a_{kj}-e^{-i{\bf k}\cdot{\bf r}}a_{kj}^*\Big)$$
導出
⑯と⑰を導く
⑭を⑯の左辺に代入し、次に⑫と⑬を代入すると、
$$H=\frac{1}{2}\int_V\Big(\epsilon_0{\bf E}\cdot{\bf E}+\frac{{\bf B}\cdot{\bf B}}{\mu_0}\Big)d{\bf r}$$$$=-\frac{\epsilon_0}{2V}\sum_{k,j}\sum_{k’,j’}\Big((\vec{\epsilon}_{kj}\cdot\vec{\epsilon}_{k’j’})\omega_k\omega_{k’}+\frac{({\bf k}\times\vec{\epsilon}_{kj})\cdot({\bf k’}\times\vec{\epsilon}_{k’j’})}{\epsilon_0\mu_0}\Big)$$$$\times\int_V\Big(q_{kj}q_{k’j’}e^{i({\bf k}+{\bf k’})\cdot{\bf r}}-q_{kj}q_{k’j’}^*e^{i({\bf k}-{\bf k’})\cdot{\bf r}}$$$$-q_{kj}^*q_{k’j’}e^{-i({\bf k}-{\bf k’})\cdot{\bf r}}+q_{kj}^*q_{k’j’}^*e^{-i({\bf k}+{\bf k’})\cdot{\bf r}}\Big)d{\bf r}$$
この積分が０にならない項は ${\bf k}=\pm{\bf k’}$ の項に限られます。まず ${\bf k}=-{\bf k’}$ の場合、前半の括弧の中は、$\vec{\epsilon}_{kj}\bot\vec{\epsilon}_{kj’}$（$j\ne j’$）に留意すると、
$$(\vec{\epsilon}_{kj}\cdot\vec{\epsilon}_{kj’})\omega_k^2-\frac{({\bf k}\times\vec{\epsilon}_{kj})\cdot({\bf k}\times\vec{\epsilon}_{kj’})}{\epsilon_0\mu_0}=\delta_{jj’}\Big(\omega_k^2-\frac{k^2}{\epsilon_0\mu_0}\Big)$$
これは⑩より０になります。一方 ${\bf k}={\bf k’}$ の場合、後半の指数部分について、第１項と第４項は０になり、第２項と第３項は１になるため、⑯が得られます。
$$H=\frac{\epsilon_0}{2}\sum_{k,j}(\omega_k^2+c^2k^2)(q_{kj}q_{kj}^*+q_{kj}^*q_{kj})$$$$=2\epsilon_0\sum_{kj}\omega_k^2q_{kj}^*q_{kj} -⑯$$
⑮の両辺を微分して２乗すると、
$$\dot{Q}_{kj}(t)=-i\omega_k(q_{kj}-q_{kj}^*)$$$$\dot{Q}_{kj}^2(t)=-\omega_k^2(q_{kj}^2-2q_{kj}^*q_{kj}+q_{kj}^{*2}) -(1)$$
⑮両辺を２乗して $\omega_k^2$ を掛けると
$$\omega_k^2Q_{kj}^2(t)=\omega_k^2(q_{kj}^2+2q_{kj}^*q_{kj}+q_{kj}^{*2}) -(2)$$
(1)と(2)の両辺の和と取ると、
$$\dot{Q}_{kj}^2+\omega_k^2Q_{kj}^2=4\omega_k^2q_{kj}^*q_{kj}$$
これを⑯に代入すると⑰が得られます。
$$H=\frac{\epsilon_0}{2}\sum_{k,j}\Big(\dot{Q}_{k,j}^2+\omega_k^2Q_{k,j}^2\Big)$$
