マクスウェル場とは

マクスウェル場の古典論

マクスウェル場とは、マクスウェル方程式に従う電磁場です。真空のまず、古典論について説明します。

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{B}=0 -\mathrm{①}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{D}=0 -\mathrm{②}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0 -\mathrm{③}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=0 -\mathrm{④}$$

尚、電場と磁場には以下の関係があります。

$$\mathbf{D}={ϵ}_0\mathbf{E}$$$$\mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{H}$$$${ϵ}_0{\mu }_0=\frac{1}{c^2}$$

ベクトルポテンシャル

ベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ を⑤で定義すると、①は自動的に満たされ、②～④は⑥～⑦に書き替えることができます。

$$\mathbf{B}\equiv \mathrm{\nabla }\times \mathbf{A} -\mathrm{⑤}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{A}=0 -\mathrm{⑥}$$$$\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\mathrm{⑦}$$$${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=0 -\mathrm{⑧}$$

⑧は波動方程式であり、$\mathbf{A}$ は波数 $\mathbf{k}$ の平面波の重ね合わせで表されることが分かります。

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)={\mathbf{A}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)} -\mathrm{⑨}$$$$k_x=\frac{2\pi }{{\lambda }_x} , k_y=\frac{2\pi }{{\lambda }_y} , k_z=\frac{2\pi }{{\lambda }_z}$$

⑨を⑧と⑥に代入するとそれぞれ以下のようになります。これらにより、$\mathbf{A}$ が速度 $c$ の波動であることと、振幅が進行方向 $\mathbf{k}$ に垂直（横波）であることが分かります。

$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2} -\mathrm{⑩}$$$$0=A_{0x}{k}_x+A_{0y}{k}_y+A_{0z}{k}_z={\mathbf{A}}_0\cdot \mathbf{k}$$

電場や磁場に物理的な意味を持たせるため、⑨の実部（複素共役の和）を解として用いる必要があります。そのため、⑨を以下のように置き換え、全ての波数 $\mathbf{k}$ について和を取ります。

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\sqrt{\frac{1}{V}}\sum _k\sum _{j=1}^2{\overrightarrow{ϵ}}_{kj}(q_{kj}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}+q_{kj}^{\ast }(t)e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}) -\mathrm{⑪}$$$$q_{kj}(t)=|q_{kj}|e^{-i({\omega }_{k}t+{\delta }_{kt})}$$

また、振幅は進行方向に対し垂直となるため、各波数に対し自由度は２となります。これを単位ベクトルの組（${\overrightarrow{ϵ}}_{k1},{\overrightarrow{ϵ}}_{k2}$）で表しています。

電場

電場は⑨を⑦に代入することで得られます。

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=i\omega {\mathbf{A}}_0{e}^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$$

⑪についても同様に書き替えると、

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\sqrt{\frac{1}{V}}\sum _k\sum _{j=1}^{2}i{\omega }_k{\overrightarrow{ϵ}}_{kj}(q_{kj}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}-q_{kj}^{\ast }(t)e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}) -\mathrm{⑫}$$

磁場

電場は⑨を⑤に代入することで得られます。

$$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=i(\mathbf{k}\times {\mathbf{A}}_0)e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}$$

⑪についても同様に書き替えると、

$$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\sqrt{\frac{1}{V}}\sum _k\sum _{j=1}^{2}i(\mathbf{k}\times {\overrightarrow{ϵ}}_{kj})(q_{kj}(t)e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}-q_{kj}^{\ast }(t)e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}) -\mathrm{⑬}$$

ハミルトニアン

電磁場のハミルトニアンは以下で表されます。

$$U(\mathbf{r},t)=\frac{1}{2}(\mathbf{D}\cdot \mathbf{E}+\mathbf{B}\cdot \mathbf{H}) -\mathrm{⑭}$$

一般化座標を以下で定義すると、

$$Q_{kj}(t)\equiv q_{kj}(t)+q_{kj}^{\ast }(t) -\mathrm{⑮}$$

古典論のハミルトニアンは以下で表されます（⑯⑰の導出）。

$$H={\int }_{V}Ud\mathbf{r}=2{ϵ}_0\sum _{kj}{\omega }_k^2{q}_{kj}^{\ast }{q}_{kj} -\mathrm{⑯}$$$$=\frac{{ϵ}_0}{2}\sum _{k,j}({\dot{Q}}_{k,j}^2+{\omega }_k^2{Q}_{k,j}^2) -\mathrm{⑰}$$$$=\sum _{k,j}(\frac{1}{2{ϵ}_0}{P}_{kj}^2+\frac{{ϵ}_0}{2}{\omega }_k^2{Q}_{k,j}^2) -\mathrm{⑱}$$

最後は以下の共役な一般化運動量を使っています。

$$P_{kj}=\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{kj}}={ϵ}_0{\dot{Q}}_{kj} -\mathrm{⑲}$$

マクスウェル場の量子論

ハミルトニアン

古典論から量子論へ移るには、

$$P_{kj} \to -i\hslash \frac{\partial }{\partial Q_{kj}}$$

と置き換えればよいので、

$$H=\sum _{k,j}(-\frac{{\hslash }^2}{2{ϵ}_0}\frac{{\partial }^2}{{\partial }^2{Q}_{kj}}+\frac{{ϵ}_0}{2}{\omega }_k^2{Q}_{kj}^2)$$

演算子

⑳は量子的な調和振動子であるため、$m\to {ϵ}_0$ のように類推すると、演算子を以下で定義することができます。

$$a_{k,j}^{\ast }=\sqrt{\frac{{ϵ}_0{\omega }_k}{2\hslash }}(Q_{kj}-\frac{i}{{ϵ}_0{\omega }_k}{P}_{kj})$$$$a_{k,j}=\sqrt{\frac{{ϵ}_0{\omega }_k}{2\hslash }}(Q_{kj}+\frac{i}{{ϵ}_0{\omega }_k}{P}_{kj})$$

ここで、⑮と⑲より書き換えると、

$$a_{k,j}^{\ast }=\sqrt{\frac{2{ϵ}_0{\omega }_k}{\hslash }}{q}_{kj}^{\ast }$$$$a_{k,j}=\sqrt{\frac{2{ϵ}_0{\omega }_k}{\hslash }}{q}_{kj}$$

これを⑯に代入すると、量子論のハミルトニアンは以下のように書き替えられます。

$$H=\sum _{k,j}\hslash {\omega }_k{a}_{k,j}^{\ast }{a}_{k,j}$$

これらの演算子は以下のような性質があります。尚、$n_{k,j}$ は光子の数を表します。

$$a_{k,j}^{\ast }{a}_{k,j}=n_{k,j}$$$$a_{k,j}{a}_{k,j}^{\ast }-a_{k,j}^{\ast }{a}_{k,j}=1$$

ベクトルポテンシャル

⑳と㉑を⑪に代入すると、量子論でのベクトルポテンシャルが得られます。

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\sqrt{\frac{\hslash }{2{ϵ}_{0}V}}\sum _{k,j}\frac{{\overrightarrow{ϵ}}_{kj}}{\sqrt{{\omega }_k}}(e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{a}_{kj}+e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{a}_{kj}^{\ast })$$

電場

⑳と㉑を⑫に代入すると、量子論での電場が得られます。

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\sqrt{\frac{\hslash }{2{ϵ}_{0}V}}\sum _{k,j}i\sqrt{{\omega }_k}{\overrightarrow{ϵ}}_{kj}(e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{a}_{kj}-e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{a}_{kj}^{\ast })$$

磁場

⑳と㉑を⑬に代入すると、量子論での磁場が得られます。

$$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\sqrt{\frac{\hslash }{2{ϵ}_{0}V}}\sum _{k,j}i\frac{\mathbf{k}\times {\overrightarrow{ϵ}}_{kj}}{\sqrt{{\omega }_k}}(e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{a}_{kj}-e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}{a}_{kj}^{\ast })$$

導出

⑯と⑰を導く

⑭を⑯の左辺に代入し、次に⑫と⑬を代入すると、

$$H=\frac{1}{2}{\int }_V({ϵ}_0\mathbf{E}\cdot \mathbf{E}+\frac{\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}}{{\mu }_0})d\mathbf{r}$$$$=-\frac{{ϵ}_0}{2V}\sum _{k,j}\sum _{k^{\prime },j^{\prime }}(({\overrightarrow{ϵ}}_{kj}\cdot {\overrightarrow{ϵ}}_{k^{\prime }{j}^{\prime }}){\omega }_k{\omega }_{k^{\prime }}+\frac{(\mathbf{k}\times {\overrightarrow{ϵ}}_{kj})\cdot ({\mathbf{k}}^{\prime }\times {\overrightarrow{ϵ}}_{k^{\prime }{j}^{\prime }})}{{ϵ}_0{\mu }_0})$$$$\times {\int }_V(q_{kj}{q}_{k^{\prime }{j}^{\prime }}{e}^{i(\mathbf{k}+{\mathbf{k}}^{\prime })\cdot \mathbf{r}}-q_{kj}{q}_{k^{\prime }{j}^{\prime }}^{\ast }{e}^{i(\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime })\cdot \mathbf{r}}$$$$-q_{kj}^{\ast }{q}_{k^{\prime }{j}^{\prime }}{e}^{-i(\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime })\cdot \mathbf{r}}+q_{kj}^{\ast }{q}_{k^{\prime }{j}^{\prime }}^{\ast }{e}^{-i(\mathbf{k}+{\mathbf{k}}^{\prime })\cdot \mathbf{r}})d\mathbf{r}$$

この積分が０にならない項は $\mathbf{k}=\pm {\mathbf{k}}^{\prime }$ の項に限られます。まず $\mathbf{k}=-{\mathbf{k}}^{\prime }$ の場合、前半の括弧の中は、${\overrightarrow{ϵ}}_{kj}\mathrm{\perp }{\overrightarrow{ϵ}}_{k{j}^{\prime }}$（$j\ne j^{\prime }$）に留意すると、

$$({\overrightarrow{ϵ}}_{kj}\cdot {\overrightarrow{ϵ}}_{k{j}^{\prime }}){\omega }_k^2-\frac{(\mathbf{k}\times {\overrightarrow{ϵ}}_{kj})\cdot (\mathbf{k}\times {\overrightarrow{ϵ}}_{k{j}^{\prime }})}{{ϵ}_0{\mu }_0}={\delta }_{j{j}^{\prime }}({\omega }_k^2-\frac{k^2}{{ϵ}_0{\mu }_0})$$

これは⑩より０になります。一方 $\mathbf{k}={\mathbf{k}}^{\prime }$ の場合、後半の指数部分について、第１項と第４項は０になり、第２項と第３項は１になるため、⑯が得られます。

$$H=\frac{{ϵ}_0}{2}\sum _{k,j}({\omega }_k^2+c^2{k}^2)(q_{kj}{q}_{kj}^{\ast }+q_{kj}^{\ast }{q}_{kj})$$$$=2{ϵ}_0\sum _{kj}{\omega }_k^2{q}_{kj}^{\ast }{q}_{kj} -\mathrm{⑯}$$

⑮の両辺を微分して２乗すると、

$${\dot{Q}}_{kj}(t)=-i{\omega }_k(q_{kj}-q_{kj}^{\ast })$$$${\dot{Q}}_{kj}^2(t)=-{\omega }_k^2(q_{kj}^2-2q_{kj}^{\ast }{q}_{kj}+q_{kj}^{\ast 2}) -(1)$$

⑮両辺を２乗して ${\omega }_k^2$ を掛けると

$${\omega }_k^2{Q}_{kj}^2(t)={\omega }_k^2(q_{kj}^2+2q_{kj}^{\ast }{q}_{kj}+q_{kj}^{\ast 2}) -(2)$$

(1)と(2)の両辺の和と取ると、

$${\dot{Q}}_{kj}^2+{\omega }_k^2{Q}_{kj}^2=4{\omega }_k^2{q}_{kj}^{\ast }{q}_{kj}$$

これを⑯に代入すると⑰が得られます。

$$H=\frac{{ϵ}_0}{2}\sum _{k,j}({\dot{Q}}_{k,j}^2+{\omega }_k^2{Q}_{k,j}^2)$$

物理学

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2021.04.13

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