基本ベクトル
基本ベクトルとは、結晶の周期構造を表す３本の独立なベクトルです。これらの整数倍の和によって、結晶の格子点の位置を表すことができます。
$${\bf r}={\bf R}+{\boldsymbol\tau}_s$$$${\bf R}=n_1{\bf a}_1+n_2{\bf a}_2+n_3{\bf a}_3$$
-
- \({\bf R}\)：ブラベー格子の格子点
- \({\boldsymbol\tau}_s\)：単位格子内の原子の位置
- \(s\)：単位格子内の原子を区別する添字
面指数
面指数（ミラー指数）とは、結晶面の向きを表す整数の組です。結晶面が基本ベクトルの各方向と交わる位置を基本ベクトルの単位で表し、その切片の逆数を整数比にしたものを面指数と呼びます。
例えば、基本ベクトルの方向に沿った切片が以下であるとき、その面をミラー指数（$h_1,h_2,h_3$）で表します。
$$\left(\frac{a_1}{h_1},\frac{a_2}{h_2},\frac{a_3}{h_3}\right)$$
電子密度
原子配列の周期性のため、結晶内の電子密度も周期性を持ちます。一般に、周期性を持つ関数はフーリエ展開することが可能なので、１次元の場合、電子密度 $n$ は以下の形式で表すことができます。ここで、$a$ は原子間の距離、$g$ は整数です。
$$n(x)=\sum_{g=-\infty}^\infty n_ge^{ik_gx}$$$$k_g=\frac{2\pi g}{a}$$
係数 $n_g$ は一般に複素数ですが、$n_{-g}^*=n_g$ の場合に、電子密度 $n$ が実数になります（①）。この電子密度は、明らかに周期 $a$ を持つことが分かります。
$$n(x)=n(x+a)$$
３次元の場合も同様に、電子密度はフーリエ級数に展開できます。このとき、１次元の波数 \(k_g\) に対応するベクトルが逆格子ベクトル \({\bf G}\) であり、電子密度は次のように表されます。
$$n({\bf r})=\sum_Gn_Ge^{i{\bf G}\cdot{\bf r}} －②$$
①の導出
$k=2\pi g/a$ と置くと、電子密度の $g$ と $-g$ の項の和は、
$$n_ge^{ikx}+n_{-g}e^{-ikx}=n_ge^{ikx}+n_g^*e^{-ikx}$$$$=(n_g+n_g^*)\cos{kx}+i(n_g-n_g^*)\sin{kx}$$$$=2\mathrm{Re}(n_g)\cos{kx}-2\mathrm{Im}(n_g)\sin{kx}$$
のように実数となるため、全ての電子密度の項が実数となることが分かります。
逆格子ベクトル
逆格子ベクトルとは、結晶の周期構造を波数空間で表すベクトルです。実空間の基本ベクトル \({\bf a}_i\) に対応する逆格子の基本ベクトル \({\bf b}_i\) は、次の直交関係を満たすように定義されます。
$${\bf b}_i\cdot{\bf a}_j=2\pi\delta_{ij}$$
②の ${\bf G}$ は逆格子ベクトルと呼ばれ、以下で表されます。
$${\bf G}=h_1{\bf b}_1+h_2{\bf b}_2+h_3{\bf b}_3 －③$$
$${\bf b}_1=2\pi\frac{{\bf a}_2\times{\bf a}_3}{V}$$$${\bf b}_2=2\pi\frac{{\bf a}_3\times{\bf a}_1}{V}$$$${\bf b}_3=2\pi\frac{{\bf a}_1\times{\bf a}_2}{V}$$$$V\equiv{\bf a}_1\cdot({\bf a}_2\times{\bf a}_3)$$
尚、分母の $V$ は単位ベクトルで作られる基本格子の体積を表します。
③の導出
電子密度②が並進操作 ${\bf T}$（$=n_1{\bf a}_1+n_2{\bf a}_2+n_3{\bf a}_3$）に対して不変になる、逆格子ベクトル（${\bf b}_1,{\bf b}_2,{\bf b}_3$）を求めます。並進不変性の条件は、
$$n({\bf r})=n({\bf r}+{\bf T})=\sum_Gn_Ge^{i{\bf G}\cdot({\bf r}+{\bf T})}$$
より、$e^{i{\bf G}\cdot{\bf T}}=1$ であり、$n_i$ と $h_j$ は整数であるため、 以下が成り立つ必要があります。
$${\bf b}_i\cdot{\bf a}_j=2\pi\delta_{ij}$$
まず $i\ne j$ の場合から、例えば ${\bf b}_1$ は ${\bf a}_2,{\bf a}_3$ と直交する必要があるため、${\bf b}_1=\alpha{\bf a}_2\times{\bf a}_3$（$\alpha$ は定数）の形式を持ちます。
次に $i=j$ の場合から、${\bf b}_1\cdot{\bf a}_1=2\pi$ であるため、定数 $\alpha$ は以下となります。
$$\alpha=\frac{2\pi}{{\bf a}_1\cdot({\bf a}_2\times{\bf a}_3)}$$
従って、逆格子ベクトル③が得られます。
