正準変換
正準変換とは、正準変数（一般化座標と一般化運動量）を新たな正準方程式（ハミルトン方程式）を満たす新しい正準変数への変数変換です。正準変換は、正準変数の２つの組を（ $q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f$ ）と（ $Q_1,\cdots,Q_f,P_1,\cdots,P_f$ ）とすると以下のように表されます。
$Q_1=Q_1(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$
$\cdots$
$Q_f=Q_f(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$
$P_1=P_1(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$
$\cdots$
$P_f=P_f(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$
尚、$f$ は自由度を表します。正準変換では、一般化座標と一般化運動量を分けず混合した形の変換になります。
正準方程式
正準変数（ $q_1,\cdots,p_1,\cdots$ ）に対する正準方程式（ハミルトン方程式）は以下になります。
$$\frac{dq_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r} -①$$$$\frac{dp_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r} -①$$$$H(q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f,t)\equiv\sum_rp_r\dot{q}_r-L$$
一方、正準変数（ $Q_1,\cdots,P_1,\cdots$ ）に対する正準方程式は以下になります。
$$\frac{dQ_r}{dt}=\frac{\partial H’}{\partial P_r} -②$$$$\frac{dP_r}{dt}=-\frac{\partial H’}{\partial Q_r} -②$$$$H'(Q_1,\cdots,Q_f,P_1,\cdots,P_f,t)\equiv\sum_rP_r\dot{Q}_r-L$$
ハミルトンの原理
ハミルトン方程式①と②は、それぞれ以下のハミルトンの原理（変分原理）③と④と同等になります。従って、ハミルトン方程式を①から②に変換することは、変分原理を③から④に変換することと同等になります。
$$\delta\int_{t1}^{t2}\big(\sum p_r\dot{q}_r-H(q,p,t)\big)=0 -③$$$$\delta q_1=\cdots=\delta q_f=0 (t=t_1,t_2)$$
$$\delta\int_{t1}^{t2}\big(\sum P_r\dot{Q}_r-H'(Q,P,t)\big)=0 -⓸$$$$\delta Q_1=\cdots=\delta Q_f=0 (t=t_1,t_2)$$
正準変換の母関数
全微分で表される関数（母関数）が存在することが、（ $q,p$ ）$\to$（ $Q,P$ ）が正準変換となるための条件となります。以下、母関数を $F$ で表します。
$$dF(q,Q,t)=\sum p_rdq_r-\sum P_rdQ_r-(H-H’)dt -⑤$$$$p_r=\frac{\partial}{\partial q_r}F(q_1,\cdots,q_f,Q_1,\cdots,Q_f,t)$$$$P_r=-\frac{\partial}{\partial Q_r}F(q_1,\cdots,q_f,Q_1,\cdots,Q_f,t)$$$$H-H’=-\frac{\partial}{\partial t}F(q_1,\cdots,q_f,Q_1,\cdots,Q_f,t)$$
⑤の導出
変分原理③と④のどちらか一方が成り立つときにもう一方が成り立つということは、
$$\sum p_r\dot{q}_r-H(q,p,t)=\sum P_r\dot{Q}_r-H'(Q,P,t) -(1)$$
これは $q$ と $Q$ の任意の関数 $F$ を使って以下のようにも表されます。
$$\sum p_r\dot{q}_r-H(q,p,t)=\sum P_r\dot{Q}_r-H'(Q,P,t)+\frac{d}{dt}F(q,Q,t) -(2)$$
(2)の右辺３項を変分を取ると、$t=t_1,t_2$ で $\delta q=\delta Q=0$ となるため変分は０になります。従って、(2)は(1)の一般化になります。
$$\delta\int_{t1}^{t2}\frac{d}{dt}F(q,Q,t)dt=\delta\Big(F\big(q(t_2),Q(t_2),t\big)-F\big(q(t_1),Q(t_1),t\big)\Big)=0$$
(2)の両辺に $dt$ を掛けると⑤が得られます。
母関数の種類
以下、ルジャンドル変換により母関数の変数を入れ替えます。
- $F(q,Q,t)\to F(q,P,t)-\sum P_rQ_r$$$dF(q,P,t)=\sum p_rdq_r+\sum Q_rdP_r-(H-H’)dt -⑥$$$$p_r=\frac{\partial}{\partial q_r}F(q_1,\cdots,q_f,P_1,\cdots,P_f,t)$$$$Q_r=\frac{\partial}{\partial P_r}F(q_1,\cdots,q_f,P_1,\cdots,P_f,t)$$$$H-H’=-\frac{\partial}{\partial t}F(q_1,\cdots,q_f,P_1,\cdots,P_f,t)$$
- $F(q,Q,t)\to F(Q,p,t)+\sum p_rq_r$$$dF(Q,p,t)=-\sum P_rdQ_r-\sum q_rdp_r-(H-H’)dt -⑦$$$$P_r=-\frac{\partial}{\partial Q_r}F(Q_1,\cdots,Q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$$$$q_r=-\frac{\partial}{\partial p_r}F(Q_1,\cdots,Q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$$$$H-H’=-\frac{\partial}{\partial t}F(Q_1,\cdots,Q_f,p_1,\cdots,p_f,t)$$
- $F(q,Q,t)\to F(p,P,t)-\sum P_rQ_r+\sum p_rq_r$$$dF(p,P,t)=\sum Q_rdP_r-\sum q_rdp_r-(H-H’)dt -⑧$$$$Q_r=\frac{\partial}{\partial P_r}F(p_1,\cdots,p_f,P_1,\cdots,P_f,t)$$$$q_r=-\frac{\partial}{\partial p_r}F(p_1,\cdots,p_f,P_1,\cdots,P_f,t)$$$$H-H’=-\frac{\partial}{\partial t}F(p_1,\cdots,p_f,P_1,\cdots,P_f,t)$$
母関数の例
簡単な母関数をの例を示します。
- $F(q,P)=\sum q_rP_r$
⑥より変数を求めると、変数は変えないので恒等変換となることが分かります。$$p_r=\frac{\partial F}{\partial q_r}=P_r -⑨$$$$Q_r=\frac{\partial F}{\partial P_r}=q_r -⑨$$
- $F(q,Q)=\sum q_rQ_r$
⑤より変数を求めると、座標と運動量を入れ替えている変換であることが分かります。$$p_r=\frac{\partial F}{\partial q_r}=Q_r$$$$P_r=-\frac{\partial F}{\partial Q_r}=-q_r$$
正準変換の合成
２つの正準変換の合成は正準変換になります。$(q,p)\to(q’,p’)\to(q”,p”)$ のような変換の場合、
-
- $(q,p)\to(q’,p’)$
$dF=\sum p_rdq_r-\sum p_r’dq_r’-(H-H’)dt$ - $(q’,p’)\to(q”,p”)$
$dG=\sum p_r’dq_r’-\sum p_r”dq_r”-(H’-H”)dt$
- $(q,p)\to(q’,p’)$
これらの両辺の和を取ると、$(q,p)\to(q”,p”)$ が正準変換となることが分かります。
$$d(F+G)=\sum p_rdq_r-\sum p_r”dq_r”-(H-H”)dt$$
正準共役
正準共役とは、正準変数である一般化座標と一般化運動量の対の関係で、これらは独立変数として扱われます。時間 $t$ も正準変数として扱うため、新たなパラメタ $\tau$ を導入し、変分原理③を書き換えます。
$$\delta\int_{t1}^{t2}\Big(\sum p_r\frac{dq_r}{d\tau}-E\frac{dt}{d\tau}\Big)d\tau=0 -⑩$$$$E=H(q,p,t)$$
⑩の左辺第１項と第２項は同じ形をしており、一般化座標と一般化運動量と同様、時間と符号を変えたエネルギーも正準共役な変数と考えることができます。
$q_r \longleftrightarrow p_r$
$t \longleftrightarrow -E$
微小正準変換
ある時刻の $q_r,p_r$ から $dt$ 経過後のような変換を考えると、
$$q_r \to q_r+\frac{dq_r}{dt}dt -⑪$$$$p_r \to p_r+\frac{dp_r}{dt}dt -⑪$$
この母関数 $F$ は、恒等変換⑨とハミルトニアン $H$ の和であり、
$$F(q,P)=\sum q_rP_r+\epsilon H(q,p) -⑫$$
正準変数の時間変化は微小正準変換（ハミルトン方程式）となります。
$$\frac{dq_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r} -⑬$$$$\frac{dp_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r} -⑬$$
⑫⑬の導出
微小量を $\epsilon$ とし、高等変換⑥を書き換えると、
$$F(q,P)=\sum q_rP_r+\epsilon G(q,P)$$$$Q_r=q_r+\epsilon\bar{q}_r -(3)$$$$P_r=p_r+\epsilon\bar{p}_r -(3)$$
このとき正準変換は以下になりますが、$\epsilon^2$ の項を省略すれば $P_r\cong p_r$ と置き替えられるため、
$$Q_r=\frac{\partial F}{\partial P_r}=q_r+\epsilon\frac{\partial G(q,P)}{\partial P_r}\cong q_r+\epsilon\frac{\partial G(q,p)}{\partial p_r} -(4)$$$$p_r=\frac{\partial F}{\partial q_r}=P_r+\epsilon\frac{\partial G(q,P)}{\partial q_r}\cong P_r+\epsilon\frac{\partial G(q,p)}{\partial q_r} -(4)$$
これら(3)と(4)を比較すると、
$$\bar{q}_r=\frac{\partial G(q,p)}{\partial p_r}$$$$\bar{p}_r=-\frac{\partial G(q,p)}{\partial q_r}$$
ここで⑪の変換を考え、$\bar{q}_r$ と $\bar{p}_r$ を $dq_r/dt$ と $dp_r/dt$ に置き替えると、関数 $G$ はハミルトニアンと見なすことができ、ハミルトン方程式⑬を満たすことが分かります。
$$\frac{dq_r}{dt}=\frac{\partial G(q,p)}{\partial p_r}$$$$\frac{dp_r}{dt}=-\frac{\partial G(q,p)}{\partial q_r}$$
積分不変量
相対積分不変量
$q$ 空間の任意の曲線の変位を $\delta q_1\sim\delta q_f$ とし、それに対する $Q$ の変位を $\delta Q_1\sim\delta Q_f$ とします。このとき、$q$ 空間の閉曲線上の以下の積分は、正準変換に対する不変になります。これを相対積分不変量と呼びます。
$$\oint\sum_rp_r\delta q_r=\oint\sum_rP_r\delta Q_r -⑭$$
⑭の導出
正準変換⑤より、
$$\sum_r(p_r\delta q_r-P_r\delta Q_r)=\sum_r\Big(\frac{\partial F}{\partial q_r}\delta q_r+\frac{\partial F}{\partial Q_r}\delta Q_r\Big)=\delta F$$
正準変換の母関数は全微分であるため、両辺を $q$ 空間の任意の閉曲線で積分すると右辺は０になります。これより⑭が成り立つことが分かります。
$$\oint\delta F=0$$
絶対積分不変量
正準変数を２つのパラメタ $u,v$ の変数として定義します。
$q_1=q_1(u,v), \cdots, q_f=q_f(u,v)$
$p_1=p_1(u,v), \cdots, p_f=p_f(u,v)$
この２つのパラメタによる任意の領域について、以下の積分は正準変換に対して不変になります。これを絶対積分不変量と呼びます。
$$\int\int\sum_r\delta q_r\delta p_r=\int\int\sum_r\delta Q_r\delta P_r -⑮$$
さらに以下の積分も正準変換に対して不変になります。
$$J_2=\int\int\int\int\sum_{r,s}\delta q_r\delta p_r\delta q_s\delta p_s$$$$J_f=\int\cdots\int\delta p_1\delta q_1\cdots\delta p_f\delta q_f$$
⑮の導出
⑮の左辺をヤコビアンと正準変換⑥を使って書き直すと、
$$\sum_r\delta q_r\delta p_r=\sum_r\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_r}{\partial u} & \frac{\partial p_r}{\partial u} \\
\frac{\partial q_r}{\partial v} & \frac{\partial p_r}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v$$$$=\sum_r\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_r}{\partial u} & \sum_s\frac{\partial}{\partial q_r}\Big(\frac{\partial F}{\partial q_s}\frac{\partial q_s}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial P_s}\frac{\partial P_s}{\partial u}\Big) \\
\frac{\partial q_r}{\partial v} & \sum_s\frac{\partial}{\partial q_r}\Big(\frac{\partial F}{\partial q_s}\frac{\partial q_s}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial P_s}\frac{\partial P_s}{\partial v}\Big) \end{array}\right|\delta u\delta v$$$$=\sum_{r,s}\frac{\partial^2F}{\partial q_r\partial q_s}\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_r}{\partial u} & \frac{\partial q_s}{\partial u} \\
\frac{\partial q_r}{\partial v} & \frac{\partial q_s}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v+\sum_{r,s}\frac{\partial^2F}{\partial q_r\partial P_s}\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_r}{\partial u} & \frac{\partial P_s}{\partial u} \\
\frac{\partial q_r}{\partial v} & \frac{\partial P_s}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v$$$$=\sum_{r,s}\frac{\partial^2F}{\partial q_r\partial P_s}\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_r}{\partial u} & \frac{\partial P_s}{\partial u} \\
\frac{\partial q_r}{\partial v} & \frac{\partial P_s}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v -(5)$$
⑮の右辺をヤコビアンと正準変換⑥を使って書き直すと、
$$\sum_r\delta Q_r\delta P_r=\sum_r\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial Q_r}{\partial u} & \frac{\partial P_r}{\partial u} \\
\frac{\partial Q_r}{\partial v} & \frac{\partial P_r}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v$$$$=\sum_r\left|\begin{array}{ccc} \sum_s\frac{\partial}{\partial P_r}\Big(\frac{\partial F}{\partial q_s}\frac{\partial q_s}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial P_s}\frac{\partial P_s}{\partial u}\Big) & \frac{\partial P_r}{\partial u} \\
\sum_s\frac{\partial}{\partial P_r}\Big(\frac{\partial F}{\partial q_s}\frac{\partial q_s}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial P_s}\frac{\partial P_s}{\partial v}\Big) & \frac{\partial P_r}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v$$$$=\sum_{r,s}\frac{\partial^2F}{\partial P_r\partial q_s}\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_s}{\partial u} & \frac{\partial P_r}{\partial u} \\
\frac{\partial q_s}{\partial v} & \frac{\partial P_r}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v+\sum_{r,s}\frac{\partial^2F}{\partial P_r\partial P_s}\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial P_s}{\partial u} & \frac{\partial P_r}{\partial u} \\
\frac{\partial P_s}{\partial v} & \frac{\partial P_r}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v$$$$=\sum_{r,s}\frac{\partial^2F}{\partial P_r\partial q_s}\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial q_s}{\partial u} & \frac{\partial P_r}{\partial u} \\
\frac{\partial q_s}{\partial v} & \frac{\partial P_r}{\partial v} \end{array}\right|\delta u\delta v -(6)$$
(4)と(5)は等しいため⑮が成り立つことが分かります。
