環論とは

/代数学

環の定義

環(ring)とは、加法(和)および乗法(積)の2種類の二項演算を備えた代数系で、整数と似た性質を持ちます。環は、二項演算、単位元(乗法のみ)、結合則(乗法のみ)、可換則(加法のみ)、分配則が成り立つ集合として定義されます。

環ととの比較を以下に整理します。「○」は成り立つことを、「-」は対象外であることを表します。乗法を含めて可換則が成り立つ環を、可換環と呼びます。

名称 二項演算 単位元 逆元 結合則 可換則 分配則
乗法 乗法 加法
可換環 乗法 乗法

横軸の意味は以下になります。ここで、集合 $A$ の元 $a,b$ の演算を $a\cdot b$ で表します。

  • 二項演算
    任意の $a,b\in A$ に対して、$a\cdot b\in A$ が成り立つ。
  • 単位元
    任意の $a\in A$ に対して、$a\cdot e=e\cdot a=a$ となる $e\in A$ が存在する。
  • 逆元
    任意の $a\in A$ に対して、$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ となる $a^{-1}\in A$ が存在する。
  • 結合則
    任意の $a,b,c\in A$ に対して、$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ が成り立つ。
  • 可換則
    任意の $a,b\in A$ に対して、$a\cdot b=b\cdot a$ が成り立つ。
  • 分配則
    任意の $a,b,c\in A$ の積と和に対して、$a(b+c)=ab+ac$ が成り立つ。

環の種類

有理整数環

有理整数環とは、一般に整数($0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots$)のことを指し、加法と乗法について環になります。

イデアル

イデアルとは、環の部分集合であり、整数全体(環)に対するの偶数や3の倍数の集合のの持つ性質を一般化したものです。イデアル($I$)は、環($R$)に対して以下の条件が成り立ちます。

  1. $a,b\in I$ ならば、$a-b\in I$
  2. $a\in I,r\in R$ ならば、$ar\in I$
  3. $a\in I,r\in R$ ならば、$ra\in I$

1. と 2. が成り立つ場合は右イデアル、1. と 3. が成り立つ場合を左イデアルと呼びます。また、可換環であれば全てが成り立ち、両側イデアル(または単にイデアル)と呼ばれます。

剰余環

剰余環は、環 $R$ とイデアル $I$ により $R/I$ で表されます。剰余環の元を $a+I\in R/I$($a\in R$)とすると、合同式により以下で表されます。

$$a+I\equiv a\pmod{I}$$

積を以下で定義すると、

$$(a+I)(b+I)=ab+I$$

積もまた剰余環になり、結合則と分配則は明らかに成り立ちます。また、単位元は $1+I$ となることが分かります。

 

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