方程式と数列（高校数学）

式と数（数学Ⅰ）

指数法則

$m$、$n$ を正の整数とすると、以下の関係が成り立ちます。

$a^ma^n=a^{m+n}$
$(a^m)^n=a^{mn}$
$(ab)^n=a^nb^n$

展開式と因数分解

展開式と因数分解は以下になります。

$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
$(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$

絶対値

絶対値の性質は以下になります。

$|a|\ge0$ で、$|a|=0$ となるのは $a=0$ のときに限る。
$a\ge0$ のとき、$|a|=a$
$a\lt0$ のとき、$|a|=-a$
$|-a|=|a|$ 、$|a|^2=a^2$ 、$|ab|=|a||b|$
$|a/b|=|a|/|b|$ 、但し $b\ne0$

平方根

平方根の性質は以下になります。

$a\ge0$ のとき、$\sqrt{a^2}=|a|$ 、$\sqrt{a}\ge0$
$a,b\gt0$ のとき、$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 、$\sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b}$
$a,k\gt0$ のとき、$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$

2重根号は、２乗の形を作って外側の根号を外します。

$\sqrt{p\pm k\sqrt{q}}$ は $\sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}$ に変形して、
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 、但し $a\gt b$

不等式

不等式の性質は以下になります。

$a\lt b$ ならば、$a\pm c\lt b\pm c$
$a\lt b$ 、$c\gt0$ ならば、$ac\lt bc$ 、$a/c\lt b/c$
$a\lt b$ 、$c\lt0$ ならば、$ac\gt bc$ 、$a/c\gt b/c$

不等式の解は、$a\gt0$ の場合、以下で表されます。

$|x|=a$ の解は、$x=\pm a$
$|x|\lt a$ の解は、$-a\lt x\lt a$
$|x|\gt a$ の解は、$x\lt-a$ 、$a\lt x$

整数の性質（数学Ａ）

約数

自然数 $N$ の素因数分解が $N=p^aq^br^c\cdots$ となるとき、

正の約数の個数は以下で表されます。
$(a+1)(b+1)(c+1)\cdots$
正の約数の総和は以下で表されます。
$(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b)(1+r+\cdots+r^c)\cdots$

最大公約数と最小公倍数

２つの自然数 $a$ 、$b$ の最大公約数を $g$ 、最小公約数を $l$ とし、$a=ga’$ 、$b=gb’$ とすると、以下が成り立ちます。

$a’$ と $b’$ は互いに素である。
$l=ga’b’$
$ab=gl$

［１. の証明］
$a’$ と $b’$ が互いに素でないと仮定すると１以外の最大公倍数が存在します。これを $c$ とすると $a’=c\alpha$ 、$b’=c\beta$ と表すことができます。これより $a=gc\alpha$ 、$b=gc\beta$ となり、$g$ よりも大きい最大公約数 $gc$ が存在することになり矛盾します。

［２. の証明］
$l$ は最小公倍数であるため、$l=a\alpha=b\beta$ となり、$ga’\alpha=gb\beta$ であるから、$\alpha=b’$ 、$\beta=a’$ となることが分かります。

［３. の証明］
２. の両辺に $g$ を掛けると、$gl=g^2a’b’=ab$ より得られます。

除法と余り

$a$ を整数、$b$ を正の整数とし、$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とすると、

$$a=bq+r　　,　　0\le r\lt b$$

全ての整数は余りにより分類することができます。

$2k$ 、$2k+1$（偶数、奇数）
$3k$ 、$3k+1$ 、$3k+2$（３で割った余りが０､１､２）
一般に、$m$ が２以上の自然数のとき、
$mk$ 、$mk+1$ 、$mk+2$ 、$\cdots$、$mk+(m-1)$

２つの整数 $a$ 、$b$ について、$a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であるといい、以下のように表します。これを合同式と呼びます。

$$a\equiv b\pmod{m}$$

互除法

２つの正の整数 $a$ 、$b$ について、$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とすると $a=qb+r$ 、

$r\ne0$ のとき、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ と $r$ の最大公約数に等しい。
$r=0$ のとき、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ である。

［１. の証明］
$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると $ga’=qgb’+r$ 、両辺を $g$ で割ると $a’=qb’+r/g$ より、両辺は整数であるため $g$ は $r$ の約数であることが分かります。

ユークリッド互除法は、$a$ と$b$ の最大公約数を求める方法で、以下のような手順を繰り返します。

$a$ を $b$ で割った余りを $r$ とする。
$r=0$ ならば、$b$ が $a$ と $b$ の最大公約数。
$r\ne0$ ならば、$a$ を $b$ 、$b$ を $r$ で置き換えて１から繰り返す。

１次不定方程式

２つの整数 $a$ 、$b$ が互いに素であるとき、以下の１次不等式について、

$$ax+by=c　　-①$$

任意の整数 $c$ に対し、この１次不等式を満たす整数 $x$ 、$y$ が存在する。
１組の整数解が $x=\alpha$ 、$y=\beta$ であるとき、全ての整数解は、
$x=bn+\alpha$ 、$y=-an+\beta$（$n$ は整数）で表される。

［１. の証明］
①を書き換えると $y=(c-bx)/a$ であり、$a$ と $b$ は互いに素であるため、$a$ の倍数となる分子 $c-bx$ が存在することが分かります。

［２. の証明］
$x=bn+\alpha$ と $y=-an+\beta$ を①に代入すると、$a\alpha+b\beta=c$ となるため、全ての整数解を表すことが分かります。

有限小数と循環小数

既約分数 $m/n$ について以下のことが成り立ちます。

分母 $n$ の素因数が２､５だけからなる場合、
$m/n$ は有限小数で表される。
分母 $n$ の素因数が２､５以外のものがある場合、
$m/n$ は循環小数で表される。

［１. の証明］
分母 $n$ の素因数が２､５だけからなる場合、少なくともその個数分小数点以下に下れば、割切れることができます。

［２. の証明］
分母 $n$ の２か５以外の素因数を $\gamma$ とすると、$m/n$ は既約分数であるため分子の素因数に $\gamma$ は含まれません。このとき $1/\gamma$ は循環小数になるため、$m/n$ も循環小数となります。

方程式・式と証明（数Ⅱ）

２項定理

２項定理は以下で表されます。

$$(a+b)^n={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots$$$$+{}_nC_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_nC_{n-1}ab^{n-1}+{}_nC_nb^n$$

多項定理（３項）の場合は、$(a+b+c)^n$ の一般項は以下で表されます。

$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r　　　(p+q+r=n)$$

剰余定理と因数定理

剰余定理と因数定理は以下で表されます。

剰余定理：
整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ である。
整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの余りは $P(-b/a)$ である。
因数定理：
整式 $P(x)$ が $x-a$ を因数にもつならば、$P(a)=0$
整式 $P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつならば、$P(-b/a)=0$

高次方程式

高次方程式の性質は以下になります。

実数係数の次方程式が虚数解 $a+bi$ をもつならば、
それと共役な複素数 $a+bi$ も解である。
３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の３つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、
$$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$$$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$$$$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$$$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

恒等式と不等式

恒等式の性質は以下になります。

$P(x)=Q(x)$ が $x$ についての恒等式であるならば、
$P(x)$ と$Q(x)$ の同じ次数の項の係数は一致する。
２次の整式の場合：
$ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$ が $x$ の恒等式ならば、
$a=a’$ 、$b=b’$ 、$c=c’$ が成り立つ。

不等式について以下の関係が成り立ちます。

$a\gt b$ ならは、$a-b\gt0$ 、$a^2\gt b^2$
コーシー・シュワルツの不等式：
$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$$
相加平均と相乗平均：
$a\gt0$ 、$b\gt0$ のとき以下の関係が成り立つ（等号は $a=b$ の場合）
$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$

数列

等差数列

初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $b$ のとき、

一般項 $a_n$：
$$a_n=a+(n-1)d$$
等差の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$2b=a+c$
$n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：
$$S_n=\frac{1}{2}n(a+b)=\frac{1}{2}n\Big(2a+(n-1)d\Big)$$

等比数列

初項 $a$ 、公差 $d$ のとき、

一般項 $a_n$：
$$a_n=ar^{n-1}$$
等比の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$b^2=ac$
$n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

数列の公式

$p,q$ が $k$ に無関係な定数とすると、

$$\sum_{k=1}^n(pa_k+qb_n)=p\sum_{k=1}^na_k+q\sum_{k=1}^nb_n$$

累乗の和は以下で表されます。

$$\sum_{k=1}^nc=nc$$$$\sum_{k=1}^n1=n$$$$\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^3=\Big(\frac{1}{2}n(n+1)\Big)^2$$