フーリエ級数
フーリエ級数とは、任意の周期関数を直交関数の和として表した無限級数です。
区間「$-\pi\leq\theta\leq\pi$」で定義された関数 $f(\theta)$ が $f(-\pi)=f(\pi)$ を満足し、かつ、関数の微分 $f'(\theta)$ の不連続点が有限個しか存在しない場合、三角関数または指数関数の和で表されることが証明されています。
三角関数表示
関数 $f$ が空間軸で周期 $L$（$-L/2\sim L/2$）を持つ場合、この関数は以下のように展開することができます。ここで、$k_n\equiv2\pi n/L$ です。
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{k_nx}+b_n\sin{k_nx}) －①$$
ここで、各項の係数は以下で定義されます。
$$a_n\equiv\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\cos{k_nx}dx -②$$$$b_n\equiv\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}f(x)\sin{k_nx}dx -③$$
②③を導く
②の右辺に①を代入して、三角関数の直交条件より $n=m$ 以外の項が全て０になるため、②の左辺が得られます。
$$\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}\Big[\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^\infty(a_m\cos{k_mx}+b_m\sin{k_mx})\Big]\cos{k_nx}dx$$$$=\frac{2}{L}\sum_{m=1}^\infty\Big(\delta_{mn}\frac{L}{2}a_m\Big)=a_n$$
③の右辺に①を代入すると、三角関数の直交条件より $n=m$ 以外の項が全て０になるため、③の右辺が得られます。
$$\frac{2}{L}\int_{-L/2}^{L/2}\Big[\sum_{m=1}^\infty(a_m\cos{k_mx}+b_m\sin{k_mx})\Big]\sin{k_nx}dx$$$$=\frac{2}{L}\sum_{m=1}^\infty\Big(\delta_{mn}\frac{L}{2}b_m\Big)=b_n$$
指数関数表示
三角関数を使ったフーリエ級数は、指数関数を使ったフーリエ級数に書き換えることができます。
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_nu_n(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{ik_nx} －④$$$$c_n\equiv\int u_n^*(x)f(x)dx=\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ik_nx}f(x)dx －⑤$$
尚、係数 $c_n$ と $a_n,b_n$ との関係は以下で表されます。
$$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$$$$c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}$$$$c_0=\frac{a_0}{2}$$
これらを④に代入し、以下のオイラーの関係式を使うと①が得られます。
$$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$
⑤を導く
⑤の右辺に④を代入して、三角関数の直交条件を利用すると、$n=m$ 以外の項が全て０になるため、⑤の左辺が得られます。
$$\frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ik_nx}\Big(\sum_{m=-\infty}^\infty c_me^{ik_mx}\Big)dx$$$$=\frac{1}{L}\sum_{m=-\infty}^\infty c_m\delta_{mn}L=c_n$$
フーリエ係数の収束
フーリエ級数の高次の係数が０に収束することを示します。これは、リーマン・ルベーグの定理と呼ばれます。以下は $L=2\pi$ と置いています。
- $f(x)$ が $-\pi\le x\le\pi$ で区分的に連続である場合、そのフーリエ級数は有界である。
- $f(x)$ が $-\pi\le x\le\pi$ で区分的に連続でなめらかである場合、以下の関係が成り立つ。$$\lim_{k\to\infty}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos{kx}dx=0 -⑥$$$$\lim_{k\to\infty}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin{kx}dx=0 -⑦$$
⑥の導出
$f(x)$ が $-\pi\le x\le\pi$ で区分的に連続であれば、$|f(x)|$ の上限 $M$ が存在するため、
$$\Big|\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos{kx}dx\Big|\le\int_{-\pi}^\pi|f(x)|dx\le2\pi M$$
そのフーリエ係数も有界となることが分かります。また、$f(x)$ が区分的に連続でなめらかであれば、$f'(x)$ は区分的に連続であるから積分可能なので、
$$\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos{kx}dx=\Big[\frac{f(x)\sin{kx}}{k}\Big]-\frac{1}{k}\int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin{kx}dx$$
$k\to0$ のときに０に収束することが分かります。
フーリエ級数の収束
$f(x)$ を周期 $2\pi$ で区分的に連続でなめらかな関数とすると、$f(x)$ のフーリエ級数の収束は以下の式で表すことができます。
$$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=f(x) -⑧$$
ここで $S_n$ はフーリエ級数の部分和です。
$$S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx})$$
一般に $f(x)$ が区分的になめらかな関数（不連続な関数）である場合は以下になります。
$$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} -⑨$$
ここで $f(x+0)$ は右極限、$f(x-0)$ は左極限を表します。
⑧の導出
次の三角多項式の関数 $D_n$ を定義すると、
$$D_n(x)\equiv\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos{kx}$$
以下の関係な成り立ちます。
$$D_n(x)=\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})x}}{2\sin{\frac{x}{2}}} -⑩$$$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n(x)dx=1 -⑪$$$$S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_n(x-\xi)d\xi -⑫$$
⑫で $\xi-x=\eta$ と置くと、$f(x)$ と $D_n(x)$ が周期 $2\pi$ をもち、 $D_n(x)$ が偶関数であるため、
$$\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_n(x-\xi)d\xi=\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\eta)D_n(-\eta)d\eta$$$$=\int_{-\pi}^{\pi}f(x+\eta)D_n(\eta)d\eta -(1)$$
このように⑫を書き換えると、⑧は以下のように書き換えられます。
$$\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x_0+\eta)D_n(\eta)d\eta-f(x_0)\Big)=0 -(2)$$
この括弧の中に⑪の両辺に $f(x_0)$ を掛けた式を使い、⑩を代入すると、
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\Big(f(x_0+\eta)-f(x_0)\Big)D_n(\eta)d\eta=\int_{-\pi}^\pi F(\eta)\sin{\Big(n+\frac{1}{2}\Big)}\eta d\eta$$$$F(\eta)\equiv\frac{f(x_0+\eta)-f(x_0)}{2\pi\sin{(\pi/2)}}$$
この積分を３つの区間に分けると、
$$\int_{-\pi}^\pi=\int_{-\pi}^{-\delta}+\int_{-\delta}^\delta+\int_\delta^\pi$$
右辺の第１項と第３項の区間で区分的でなめらかであるから、リーマン・ルベーグの定理⑦より、$n\to0$ で０に収束します。第２項の区間について $F(\eta)$ は、
$$\lim_{\eta\to0+}F(\eta)=\frac{1}{\pi}\lim_{\eta\to0+}\frac{\eta/2}{\sin{(\eta/2)}}\frac{f(x_0+\eta)-f(x_0)}{\eta}=\frac{1}{\pi}f'(x_0+0)$$
同様に、
$$\lim_{\eta\to0-}F(\eta)=\frac{1}{\pi}f'(x_0-0)$$
これより $F(\xi)$ は $\xi=0$ の左右の極限を持つことから、$F(\eta)$ が区分的に連続であることが分かります。従って、$F(\eta)$ は有界であるから上限値を $M$ と置くと、$\delta\to0$ において、
$$\Big|\int_{-\delta}^\delta F(\eta)\sin{\Big(n+\frac{1}{2}\Big)}\eta d\eta\Big|\lt 2\delta M\to0$$
これより(2)が成り立つため、⑧が得られることが分かります。
⑨の導出
$f(x)$ が $x=x_0$ で不連続な場合は、以下のように $g(x)$ を定義すると、
$$g(x_0+\eta)\equiv\frac{f(x_0+\eta)+f(x_0-\eta)}{2}$$$$g(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$$
$g(x)$ は $x=x_0$ で連続であるから、(2)より、
$$g(x_0)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi g(x_0+\eta)D_n(\eta)d\eta -(3)$$
$D_n(\eta)$ は偶関数であるため、
$$\int_{-\pi}^\pi f(x_0-\eta)D_n(\eta)d\eta=\int_{-\pi}^\pi f(x_0+\eta)D_n(\eta)d\eta$$
これを使うと、$g(x)$ の定義を代入した(3)は、以下のように書き換えられます。
$$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{f(x_0+\eta)+f(x_0-\eta)}{2}D_n(\eta)d\eta$$$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x_0+\eta)D_n(\eta)d\eta$$$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_n(x-\xi)d\xi=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$$
これより⑨が得られることが分かります。尚、最後は⑫を使っています。
⑩の導出
$D_n(x)$ の定義式の両辺に $2\sin{(x/2)}$ を掛け、
$$2\sin{\frac{x}{2}}\cos{kx}=\sin{\Big(k+\frac{1}{2}\Big)x}-\sin{\Big(k-\frac{1}{2}\Big)x}$$
の関係式を使うと、$\sin{(k+1/2)x}$ の項を残して打ち消し合うため、⑩が得られます。
$$2\sin{\frac{x}{2}}D_n(x)=\sin{\frac{x}{2}}+2\sum_{k=1}^n\sin{\frac{x}{2}}\cos{kx}$$$$=\sin{\frac{x}{2}}+\sum_{k=1}^n\Big[\sin{\Big(k+\frac{1}{2}\Big)x}-\sin{\Big(k-\frac{1}{2}\Big)x}\Big]$$$$=\sin{\Big(k+\frac{1}{2}\Big)x}$$
⑫の導出
$S_n(x)$ の定義式に $L\to2\pi$ とした②③を代入すると、⑫が得られます。
$$S_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx})$$$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)\Big(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n(\cos{kx}\cos{k\xi}+\sin{kx}\sin{k\xi})\Big)d\xi$$$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)\Big(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos{k(x-\xi)}\Big)d\xi$$$$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_n(x-\xi)d\xi$$
