水素原子などの中心力場にシュレディンガー方程式を適用すると、３つの量子数が得られ、さらにはボーアの原子模型が導かれます。本記事は、数学的な計算は省略し概略のみ記載します。
極座標表示
時間に依存しないシュレディンガー方程式
$$\Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\Big)\psi({\bf r})=E\psi({\bf r})$$
を極座標（$r,\theta,\phi$）で表すと以下になります。
$$\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Lambda\Big)+V(r)\Big]\psi(r,\theta,\phi)=E\psi(r,\theta,\phi)$$$$\Lambda\equiv\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$$
波動関数を $r$ 成分と（$\theta,\phi$）成分に分解すると、
$$\psi(r,\theta,\phi)\equiv\frac{X(r)}{r}Y(\theta,\phi)$$
$\lambda$ を定数とすると、シュレディンガー方程式も同じように分解することができます。
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{d^2X}{dr^2}-\frac{\lambda}{r^2}X\Big)+V(r)X=EX －①$$$$\Lambda Y(\theta,\phi)+\lambda Y(\theta,\phi)=0 －②$$
球関数と角運動量
球関数の固有値
ここで結果のみを記載すると、②の固有値は以下になり、
$$\lambda=l(l+1) l=0,1,2\cdots －③$$
各 $l$ 対する固有関数は $2l+1$ 個の球面調和関数で与えられます。
$$Y_l^m(\theta,\phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^m(\cos{\theta})e^{im\phi}$$$$(-l\le m\le l)$$
ここで、$l\le m\le -l$ であり、ルジャンドルの多項式 $P_l^{|m|}$ は以下で定義されます。
$$P_l^m(\cos{\theta})=\sin^m{\theta}\Big(\frac{d}{d\cos{\theta}}\Big)^mP_l(\cos{\theta})$$
角運動量演算子
角運動量の演算子は定義により以下で表されます。
$$l_x=-i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)=
i\hbar\left(\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}+
\frac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)$$$$l_y=-i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)=
-i\hbar\left(\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}-
\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)$$$$l_z=-i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)=
-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}$$$$l^2=l_x^2+l_y^2+l_z^2=-\hbar^2\Big(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}
+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\Big)=-\hbar^2\Lambda$$
また、新たに演算子 $l_\pm\equiv l_x\pm il_y$ を定義すると、以下で表されます。
$$l_\pm=\hbar e^{\pm i\phi}\Big(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{i}{\tan{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}\Big)$$
角運動量の固有値
角運動量演算子の中で固有値をもつのは $l^2$ と $l_z$ の２つになります。つまり、$Y_l^m$は角運動量の２乗の固有関数で、その固有値は $\hbar^2l(l+1)$ となります。
$$l^2Y_l^m(\theta,\phi)=-\hbar^2\Lambda Y_l^m(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)Y_l^m(\theta,\phi)$$
また、$Y_l^m$は角運動量の $z$ 成分の固有関数でもあり、その固有値は $m\hbar$ となります。
$$l_zY_l^m(\theta,\phi)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi}Y_l^m(\theta,\phi)=m\hbar Y_l^m(\theta,\phi)$$
これら $l$ と $m$ は、方位量子数と磁気量子数に相当します。これらに相当する角運動量（$l^2$、$l_z$）は保存量となります。
さらに、$l_\pm$ は $m$ を１つ上げ下げする演算子としての役割を持ちます。
$$l_\pm Y_l^m(\theta,\phi)=\hbar\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}Y_l^{m\pm1}(\theta,\phi)$$
中心方向の成分
次に、中心方向 $r$ の方程式①について考えます。これに③を代入し、
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{d^2X}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}X\Big)+V(r)X=EX$$
ポテンシャル $V$ はクーロン力として、
$$V(r)=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r}$$
ボーア半径 $a_0$ を使って $x$ と $\eta$ を以下で定義すると、
$$a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2}\simeq5.29\times10^{-11}m$$$$x\equiv\frac{Z}{a_0}r$$$$\eta\equiv\frac{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}{Z^2me^4}E$$
①は以下のように変形することができます。
$$\Big(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2}{x}-\frac{l(l+1)}{x^2}\Big)X+\eta X=0$$
ここで結果のみを記載すると、この方程式の固有値は以下になるため、
$$\eta=-\frac{1}{n^2} n=1,2,3\cdots$$
エネルギー準位は以下で求められます。
$$E_n=-\frac{Z^2me^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2}$$
この $n$ は、主量子数に相当します。
