相対論的力学とは

/相対論

相対論的力学とは、ニュートンの運動方程式をローレンツ変換不変な形に書き換えた力学です。

固有時

固有時とは物体が静止している系(以下、静止系)で測った時間です。等速で運動している系(以下、慣性系)の時間(t)は、静止系の時間(τ)に比べ伸びて(遅れて)見えます。

$$t_2-t_1=\frac{\tau_2-\tau_1}{\sqrt{1-\beta^2}}  ,  \beta\equiv\frac{v}{c}$$

これを書き直すと以下になります。

$$\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

運動量と運動方程式

静止系の運動量は以下で表されます。

$$p_0=m_0\frac{dx}{d\tau}$$

このとき、慣性系の運動量は以下で表されます。

$$p=m\frac{dx}{dt}=m\frac{d\tau}{dt}\frac{dx}{d\tau}=m\sqrt{1-\beta^2}\frac{dx}{d\tau}  -①$$

$p_0$とpを比べると、静止系と慣性系の質量は以下の関係があることが分かります。

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

この質量mを改めて慣性系の質量とすると、運動方程式はニュートン方程式と同じ形になります。

$$\frac{d{\bf p}}{dt}={\bf F}$$

4元運動量

4元運動量とは、ニュートン力学での3次元の運動量を4次元(時空間)に拡張したもので、以下で定義されます。

$${\bf P}\equiv m_0\left(c\frac{dt}{d\tau},\frac{dx}{d\tau},\frac{dy}{d\tau},\frac{dz}{d\tau}\right)  -②$$

このとき $P_0$ の項はエネルギーを表します。このことは以下で分かります。まず、4元運動量の内積を取ります。

$$P_1^2=m_0^2\Big(\frac{dt}{d\tau}\Big)^2\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2=\frac{m_0^2v_x^2}{1-\beta^2}$$

に留意すると以下になります。

$${\bf P}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -{\bf 1}\end{array}\right){\bf P}=P_0^2-P_1^2-P_2^2-P_3^2=m_0^2c^2  -③$$

この両辺を微分して、

$$P_0\frac{dP_0}{dt}-P_0\frac{dP_2}{dt}-P_2\frac{dP_2}{dt}-P_3\frac{dP_3}{dt}=0$$

となり、②と運動方程式を代入すると以下になります。

$$cdP_0=F_xdx+F_ydy+F_zdz$$

この右辺は仕事($dW$)に等しく、上式はエネルギーの保存則($dE=dW$)を表していると見ることができます。そのため、②は以下のように書き直すことができます。

$${\bf P}=\left(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z\right)$$

従って、③より以下の関係式が得られます。

$$E^2=c^2{\bf p}^2+m_0^2c^4$$

特に、光子など質量0の粒子の場合は以下になります。

$$E=c|{\bf p}|$$

また、静止状態($p=0$)にある粒子のエネルギーは、質量エネルギーと呼ばれます。

$$E=m_0c^2$$

 

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