クライン・ゴルドン方程式とは

/場の量子論

クライン・ゴルドン方程式

クライン・ゴルドン方程式とは、非相対論的なシュレディンガー方程式の相対論への拡張として提案されました。クライン・ゴルドン方程式は以下で表されます。

$$\Big(\Box+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\Big)\phi=0$$

ここで”$\Box$”はダランベルシアンと呼ばれ、ナブラ記号($\nabla$)により以下で定義されます。

$$\Box\equiv\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^j\partial x_j}$$

尚、mは質量、cは光速度、$\hbar$ はディラックの定数です。

クライン・ゴルドン方程式を導く

相対論的な波動方程式を導く方法を2つ説明します。

演算子の置換え

特殊相対性理論から得られる以下の関係式を使って、

$$E^2=c^2{\bf p}^2+m^2c^4$$

から、以下の類推によって置き換えを施します。

$${\bf p}\to-i\hbar\nabla  ,  E\to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

ラグアジアンから導く

ラグラジアン密度(L)を、

$$L=\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x^j}\frac{\partial \phi}{\partial x_j}-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi^2\Big)\equiv\frac{1}{2}(\phi_{,j}\phi_{,}^j-\mu^2\phi^2)$$

以下のオイラー・ラグランジュ方程式に代入します。

$$\frac{\partial L}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial x^j}\Big(\frac{\partial L}{\partial\phi_{,j}}\Big)=0$$

左辺の第2項からダランベルシアンが得られます。

クライン・ゴルドン方程式の解釈

クライン・ゴルドン方程式を1粒子の波動方程式として解釈すると、様々な不都合が生じます。例えば、2階の微分方程式であるため、波動関数の1階微分($\partial\phi/\partial t$)を初期条件として与える必要があったり、電子のスピンが考慮されていなかったりする点です。

しかし、場 $\phi$ を量子化することによって得られる多体問題においては、そのような不都合が発生しないことが分かっています。

 

数理の散策路
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学
タイトルとURLをコピーしました