指数関数の積分公式

/解析学

指数関数の積分

指数関数が含まれた基本的な積分公式を示します。

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$$
$$\int_{-\infty}^\infty x^2e^{-ax^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}}$$
$$\int_{-\infty}^\infty x^4e^{-ax^2}dx=\frac{3\sqrt{\pi}}{4a^{5/2}}$$

導出

①の導出

積分Iを以下で定義します。

$$I\equiv\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$$

$$I^2=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

次に極座標(r、θ)に変換します。$x^2+y^2=r^2$ と $dxdy=rdrd\theta$ と置けるので簡単に積分することができます。

$$I^2=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\infty re^{-r^2}dr=2\pi\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^\infty=\pi$$

これより、$I=\sqrt{\pi}$ が得られます。

②~④の導出

$y\equiv\sqrt{a}x$とおくと②は以下のようになります。

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\frac{dy}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$$

②をaで微分すると③が得られ、さらに③をaで微分すると④が得られます。

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